stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 06.05.2013 | | Autor: | ikatih |
| Aufgabe | Aufgabe 2. (Stetigkeit)
a) Sei f : [mm] \IR^2 \to \IR; \;\; f(x,y)=\begin{cases} y \sin{\bruch{x}{y}} & \mbox{für } y\not=0 \\ 0 & \mbox{für } y=0 \end{cases}
[/mm]
Begründen oder widerlegen Sie die Stetigkeit von f.
b) Besitzt die Funktion g : [mm] D_g \to \IR,
[/mm]
[mm] D_g=\left\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2 : y\not= 0 \right\}
[/mm]
[mm] g(x,y)=\bruch{\sin(xy)}{y} [/mm] für [mm] \vektor{x \\ y} \in D_g
[/mm]
eine stetige Fortsetzung auf [mm] \IR^2 [/mm] ? |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich weiß nicht wie ich anfangen soll?
Danke
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mo 06.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo ikatih,
es wäre nett, wenn Du Dir etwas mehr Mühe bei der Formeldarstellung geben würdest. Ich habe mich jetzt mal durch Deinen Quelltext gewühlt und Deine Anfrage so redigiert, dass man sie lesen kann.
Diesen Sonderservice bieten wir hier nicht standardmäßig.
Ein erster Tipp: mach viel weniger Freiräume in Deine Formeln, sonst klappt die Darstellung nicht.
Ein zweiter: [mm] \IR [/mm] schreibt man \IR. Fehlt das I vor dem R, wird einfach gar nichts angezeigt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mo 06.05.2013 | | Autor: | ikatih |
was konnte man denn nicht lesen, ich habe doch extra noch geguckt, ob alles soweit stimmt, sonst hätte ich es doch verbessert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mo 06.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
lies einfach die erste Version in der Versionsgeschichte. Lass Dir dazu den einzelnen Artikel anzeigen, dann hast Du Zugriff auf frühere Versionen.
Es wurde z.B. kein einziges [mm] \IR [/mm] angezeigt.
Und Abbildungen von [mm] \R^2\to\R [/mm] sind ziemlich witzlos.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mo 06.05.2013 | | Autor: | ikatih |
Ohh =)) habe ich jetzt bemerkt, aber ansonsten war ja alles ok
naja abgesehen von der richtigen Schreibweise, kannst du mir denn nicht bei dieser Aufgabe helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ohh =)) habe ich jetzt bemerkt, aber ansonsten war ja alles
> ok
Du bist gut: "ansonsten... alles ok" - das hier hattest Du abgeschickt:
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| Aufgabe | Aufgabe 2. (Stetigkeit)
a) Sei f : [mm] \R^2 \to \R; [/mm] f(x,y)= [mm] \begin{cases} y sin \bruch{x}{y} & \mbox{für } y \not= 0 \\ 0 & \mbox{für } y= 0 \end{cases}
[/mm]
Begründen oder widerlegen Sie die Stetigkeit von f.
b) Besitzt die Funktion g : Dg [mm] \to \R,
[/mm]
[mm] Dg=\{\vektor{x \\ y} \in \R^2 : y\not= 0 \}
[/mm]
g(x,y)= [mm] \bruch{sin(xy)}{y} [/mm] für [mm] \vektor{x \\ y} \in [/mm] Dg
eine stetige Fortsetzung auf [mm] \R^2 [/mm] ? |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich weiß nicht wie ich anfangen soll?
Danke
LG
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> naja abgesehen von der richtigen Schreibweise, kannst du
> mir denn nicht bei dieser Aufgabe helfen??
Kann er mit Sicherheit, aber nicht jeder hat immer für jede Frage Zeit und
Lust...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
a) wann ist eine reellwertige Funktion denn stetig? Welche Stellen müssen hier untersucht werden und warum?
b) Was ist eine stetige Fortsetzung?
Die Definitionen helfen dir!
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> a) wann ist eine reellwertige Funktion denn stetig? Welche
> Stellen müssen hier untersucht werden und warum?
hier fragt man eigentlich besser, wann Funktionen zwischen metrischen
Räumen stetig sind. Und zudem solle man nachgucken, was hier dann
Stetigkeit mit Folgenstetigkeit zu tun hat!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Di 07.05.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> hier fragt man eigentlich besser, wann Funktionen zwischen
> metrischen
> Räumen stetig sind.
Ja, da hast du recht. Ich wollte ihn allerdings bloß auf die Folgenstetigkeit bringen.
> Und zudem solle man nachgucken, was
> hier dann Stetigkeit mit Folgenstetigkeit zu tun hat!
Was meinst du genau?
>
> Gruß,
> Marcel
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo,
>
>
> > hier fragt man eigentlich besser, wann Funktionen zwischen
> > metrischen
> > Räumen stetig sind.
>
> Ja, da hast du recht. Ich wollte ihn allerdings bloß auf
> die Folgenstetigkeit bringen.
>
> > Und zudem solle man nachgucken, was
> > hier dann Stetigkeit mit Folgenstetigkeit zu tun hat!
>
> Was meinst du genau?
Na, Stetigkeit zwischen metrischen Räumen definiert man meist erst
mit einer [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] (wobei ich die lieber [mm] $\varepsilon\text{--}\delta\text{--}x^{(0)}$-Definition [/mm] bezeichne - denn
man betrachtet ja [mm] $x^{(0)} \in D_f$ [/mm] und dabei darf dann [mm] $\delta=\delta(\varepsilon,x^{(0)})$ [/mm] sein...).
(Man könnte sie sogar auch direkt mit dem topologischen Stetigkeitsbegriff
definieren!)
Stetig=Folgenstetig ist dann eine zu beweisende Aussage! (Und selbst,
wenn man in metrischen Räumen Stetigkeit mit Folgenstetigkeit definiert,
muss man zeigen, dass dieser Begriff mit 'alten Definitionen' vereinbar ist!
Unter entsprechenden Voraussetzungen ist dann die Äquivalenz der
beiden Begriffe nachzuweisen!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Di 07.05.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich bin davon ausgegangen, dass "Stetigkeit" in metrischen Räumen in vollem Umfang definiert wurde. Unabhängig davon, wusste der Threadersteller nicht, wie er anfangen soll. Und die Definitionen der Stetigkeit (ob nun [mm] \varepsilon-\delta-Def. [/mm] oder die Folgenstetigkeit) sind die halbe Miete zum Lösen dieser Aufgabe.
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich bin davon ausgegangen, dass "Stetigkeit" in metrischen
> Räumen in vollem Umfang definiert wurde.
dann sagen wir besser: definiert und charakterisiert!
> Unabhängig
> davon, wusste der Threadersteller nicht, wie er anfangen
> soll. Und die Definitionen der Stetigkeit (ob nun
> [mm]\varepsilon-\delta-Def.[/mm] oder die Folgenstetigkeit) sind die
> halbe Miete zum Lösen dieser Aufgabe.
Das sowieso - wobei ich hier die Folgenstetigkeit bevorzugen würde!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe 2. (Stetigkeit)
> a) Sei f : [mm]\IR^2 \to \IR; \;\; f(x,y)=\begin{cases} y \sin{\bruch{x}{y}} & \mbox{für } y\not=0 \\ 0 & \mbox{für } y=0 \end{cases}[/mm]
>
> Begründen oder widerlegen Sie die Stetigkeit von f.
die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] ist so gut wie trivial:
Auf [mm] $\IR^2 \setminus \{(x,y):\;\;y \not=0\}$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] offenbar stetig (Warum?)
Sei nun [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$ [/mm] ein Punkt, der bis auf die Forderung [mm] $y_0=0$ [/mm] ansonsten
beliebig sei, d.h. wir es sei [mm] $(x_0,0)$ [/mm] "beliebig".
Klar ist [mm] $f(x_0,y_0)=f(x_0,0)=0\,.$ [/mm] Ist [mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,0)\,,$ [/mm]
so gilt sicherlich für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$|f(x_n,y_n)-f(x_0,0)|=|f(x_n,y_n)-0|=|f(x_n,y_n)|\,.$$
[/mm]
Nun gilt aber zudem sicherlich [mm] $|f(x_n,y_n)| \le |y_n|$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (Warum?)
und es gilt auch [mm] $y_n \to [/mm] 0$ (Warum?) und daher folgt... was(?) bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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