stetigkeit - betragsfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 29.11.2008 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | Überprüfen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=0 \\ \bruch{|x-2|-|x+2|}{|x|} & \mbox{für } x\not= 0\end{cases} [/mm] |
Ich habe ansich keine wirkliche idee wie ich da anfangen soll. Beweisen sollen wir das über die Folgenstetigkeit, bei der ich ja irgendwie die links- und rechtsseitigen Grenzwerte bilden und mit den Funktionswerten vergleichen muss.
Aber wie das genau geht weiß ich leider nicht.
wäre für Hilfe sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | glie |
> Überprüfen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=0 \\ \bruch{|x-2|-|x+2|}{|x|} & \mbox{für } x\not= 0\end{cases}[/mm]
>
> Ich habe ansich keine wirkliche idee wie ich da anfangen
> soll. Beweisen sollen wir das über die Folgenstetigkeit,
> bei der ich ja irgendwie die links- und rechtsseitigen
> Grenzwerte bilden und mit den Funktionswerten vergleichen
> muss.
> Aber wie das genau geht weiß ich leider nicht.
>
>
> wäre für Hilfe sehr dankbar!
Hallo Peter,
ein erster Ansatz wäre, dass du den Funktionsterm betragsfrei darstellst. Welche Funktionsterme erhältst du für x>0 und für x<0 ?
Hilft dir das schon weiter? Wenn nein dann meld dich wieder
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 30.11.2008 | | Autor: | bonanza |
hey,
erstmal danke für deine antwort...ich habe jetzt mal eine Fallunterscheidung gemacht, allerdings muss ich doch 4 Fälle unterscheiden oder?
1.Fall: x<-2: [mm] \bruch{-(x-2)+x+2}{-x}
[/mm]
2.Fall: -2<=x<0: [mm] \bruch{-(x-2)-x-2}{-x}
[/mm]
3.Fall: 0<x<2: [mm] \bruch{-(x-2)-x-2}{x}
[/mm]
4.Fall: x>= 2: [mm] \bruch{x-2-x-2}{x}
[/mm]
ich hoffe das is soweit richtig, ich war mit nicht ganz sicher ob ich das "-|x+2|" im Zähler als "-(|x+2|)" auffassen muss oder nicht, aber ich habs mal gemacht ;)
d.h. ich müsste jetzt quasi 8 grenzwertbetrachtungen durchführen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> erstmal danke für deine antwort...ich habe jetzt mal eine
> Fallunterscheidung gemacht, allerdings muss ich doch 4
> Fälle unterscheiden oder?
>
> 1.Fall: x<-2: [mm]\bruch{-(x-2)+x+2}{-x}[/mm]
> 2.Fall: -2<=x<0: [mm]\bruch{-(x-2)-x-2}{-x}[/mm]
> 3.Fall: 0<x<2: [mm]\bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm]
> 4.Fall: x>= 2: [mm]\bruch{x-2-x-2}{x}[/mm]
>
> ich hoffe das is soweit richtig, ich war mit nicht ganz
> sicher ob ich das "-|x+2|" im Zähler als "-(|x+2|)"
> auffassen muss oder nicht, aber ich habs mal gemacht ;)
Das ist richtig.
> d.h. ich müsste jetzt quasi 8 grenzwertbetrachtungen
> durchführen?
Zunächst einmal sind das nur 6 Grenzwertbetrachtungen, je zwei bei -2,0,+2. Die bei -2 und +2 brauchst du nicht zu betrachten: da die Betragsfunktion selbst stetig ist, ist deine Funktion dort auch stetig. Nur bei x=0 wird es interessant, weil dort der Nenner $|x|$ Null wird.
Es geht also um die beiden Grenzwerte
[mm] \lim_{x\to0-} \bruch{-(x-2)-x-2}{-x} [/mm] und [mm] \lim_{x\to0+} \bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm]
Übrigens solltest du dir in so einem Fall einfach mal eine Zeichnung der Funktion machen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 30.11.2008 | | Autor: | bonanza |
> Hallo!
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> > erstmal danke für deine antwort...ich habe jetzt mal eine
> > Fallunterscheidung gemacht, allerdings muss ich doch 4
> > Fälle unterscheiden oder?
> >
> > 1.Fall: x<-2: [mm]\bruch{-(x-2)+x+2}{-x}[/mm]
> > 2.Fall: -2<=x<0: [mm]\bruch{-(x-2)-x-2}{-x}[/mm]
> > 3.Fall: 0<x<2: [mm]\bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm]
> > 4.Fall: x>= 2: [mm]\bruch{x-2-x-2}{x}[/mm]
> >
> > ich hoffe das is soweit richtig, ich war mit nicht ganz
> > sicher ob ich das "-|x+2|" im Zähler als "-(|x+2|)"
> > auffassen muss oder nicht, aber ich habs mal gemacht ;)
>
> Das ist richtig.
>
> > d.h. ich müsste jetzt quasi 8 grenzwertbetrachtungen
> > durchführen?
>
> Zunächst einmal sind das nur 6 Grenzwertbetrachtungen, je
> zwei bei -2,0,+2. Die bei -2 und +2 brauchst du nicht zu
> betrachten: da die Betragsfunktion selbst stetig ist, ist
> deine Funktion dort auch stetig. Nur bei x=0 wird es
> interessant, weil dort der Nenner [mm]|x|[/mm] Null wird.
Also muss ich immer nur die "grenzen" bzw. Funktionsübergänge betrachten?
Kannst du mir nochmal genau erklären warum ich die Fälle -2 und +2 nicht betrachten muss? Das habe ich noch nicht ganz verstanden.
>
> Es geht also um die beiden Grenzwerte
>
> [mm]\lim_{x\to0-} \bruch{-(x-2)-x-2}{-x}[/mm] und [mm]\lim_{x\to0+} \bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm]
>
der Fall x=0 ist allerdings direkt ausgeschlossen worden laut aufgabenstellung. diese ganze Funktion ist nur für [mm] x\not=0 [/mm] zu betrachten.
Aber was muss ich denn dann generell an der aufgabe machen, wenn ich keine der Fälle genau durch Grenzwertuntersuchungen betrachten muss ?
und danke für deine antwort :)
> Übrigens solltest du dir in so einem Fall einfach mal eine
> Zeichnung der Funktion machen.
>
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also muss ich immer nur die "grenzen" bzw.
> Funktionsübergänge betrachten?
Ja, darum geht es bei der Stetigkeit.
> Kannst du mir nochmal genau erklären warum ich die Fälle
> -2 und +2 nicht betrachten muss? Das habe ich noch nicht
> ganz verstanden.
Du gehst doch davon aus, dass die Betragsfunktion $|x|$ stetig ist. Die Funktion $|x-2|-|x+2|$ ist dann als Komposition stetiger Funktionen auch stetig, und die Funktion
[mm] \bruch{|x-2|-|x+2|}{|x|} [/mm]
ist deswegen auch stetig, aber an der Stelle $x=0$ undefiniert.
Damit ist nur die Stelle $x=0$ interessant.
Wenn du nicht wüsstest, dass die Betragsfunktion $|x|$ stetig ist, müsstest du die Stetigkeit deiner Funktion f(x) für beliebige Werte von x (außer 0) erst einmal zeigen.
> >
> > Es geht also um die beiden Grenzwerte
> >
> > [mm]\lim_{x\to0-} \bruch{-(x-2)-x-2}{-x}[/mm] und [mm]\lim_{x\to0+} \bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm]
>
> >
>
> der Fall x=0 ist allerdings direkt ausgeschlossen worden
> laut aufgabenstellung. diese ganze Funktion ist nur für
> [mm]x\not=0[/mm] zu betrachten.
Das ist nicht richtig. Du sollst die Stetigkeit der Gesamtfunktion f(x) betrachten und dazu musst du auch anschauen, was an der Stelle x=0 passiert. Die Funktion [mm] $\bruch{|x-2|-|x+2|}{|x|}$ [/mm] ist an dieser Stelle nicht definiert, die beiden Grenzwerte schon.
Hast du dir die Funktion aufgezeichnet?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 30.11.2008 | | Autor: | bonanza |
danke für deine antwort!
Ah okay, also hätte ich mir ansich das "auflösen" der Beträge sparen können, weil in der Funktion nur Betragsfunktionen vorkommen ?
ja die Funktion habe ich mir gezeichnet:
http://img227.imageshack.us/img227/3985/stetigkeitkx2.png
und da in der aufgabestellung der funktion für x=0 der Wert 2 vorgegeben ist, erhalte ich quasi eine "durchgänige" funktion.
Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
was is der genaue unterscheid von rechts- und linksseitigem grenzwert ? okay, einmal komme ich von rechts und einmal von links an die zu betrachtende Funktionsstelle, aber wo is da der rechnerische unterschied?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah okay, also hätte ich mir ansich das "auflösen" der
> Beträge sparen können, weil in der Funktion nur
> Betragsfunktionen vorkommen ?
Nicht ganz: an der Stelle x=0 musst du auf jeden Fall diese Überlegung anstellen.
>
> ja die Funktion habe ich mir gezeichnet:
> ![[]](/images/popup.gif) http://img227.imageshack.us/img227/3985/stetigkeitkx2.png
> und da in der aufgabestellung der funktion für x=0 der
> Wert 2 vorgegeben ist, erhalte ich quasi eine "durchgänige"
> funktion.
Besser: eine überall definierte Funktion
> Und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
> was is der genaue unterscheid von rechts- und linksseitigem
> grenzwert ? okay, einmal komme ich von rechts und einmal
> von links an die zu betrachtende Funktionsstelle, aber wo
> is da der rechnerische unterschied?
Du musst die Fallunterscheidung schon machen.
Hast du die beiden mal ausgerechnet? Was würdest du aufgrund deiner Zeichnung vorhersagen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 30.11.2008 | | Autor: | bonanza |
okay,
ich hab das gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-} \bruch{-(x-2)-x-2}{-x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] 2 = 2
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{-(x-2)-x-2}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] -2 = -2
Da die Funktion überall definiert ist hätte ich ansich gedacht, dass die überall stetig ist...aber da ja für [mm] x\rightarrow0 [/mm] unterschiedliche werte rauskommen, scheint sie wohl in 0 nichts stetig zu sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> okay,
>
> ich hab das gemacht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-} \bruch{-(x-2)-x-2}{-x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] 2 = 2
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{-(x-2)-x-2}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] -2 = -2
>
> Da die Funktion überall definiert ist hätte ich ansich
> gedacht, dass die überall stetig ist...aber da ja für
> [mm]x\rightarrow0[/mm] unterschiedliche werte rauskommen, scheint
> sie wohl in 0 nichts stetig zu sein.
Das ist richtig.
Deine Zeichnung zeigt das auch: für $-2<x<0$ hat sie den Wert 2, für $0<x<+2$ den Wert -2.
Viele Grüße
Rainer
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![[]](http://img227.imageshack.us/img227/3985/stetigkeitkx2.png){kind=small}
http://img227.imageshack.us/img227/3985/stetigkeitkx2.png