stetigkeit beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Jason |
Hy hänge in den Seilen bei Stetigkeit und
Differenzierbarkeit. Mit fehlt einfach zu viel Grundwissen, hab ich
das Gefühl.
Hab hier einige Aufgeben, die nicht schwer aussehen, wenn man den
Hintergrund versteht!
z.B. Ist Die Aussage richtig :
es sei a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] und f : D [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion
|f|:D [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] |f(x)| ist stetig
a ist Element D und D Teilmenge der reelen Zahlen, und f ist eine
Abbildung von D in [mm] \IR. [/mm]
Die Zeichen verstehe ich einigermaßen ,aber Kann mit jemand die Sache so erläuter, das ich mir das irgendwie vorstellen könnte.
Grüße
Jason
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jason!
> Hy hänge in den Seilen bei Stetigkeit und
> Differenzierbarkeit. Mit fehlt einfach zu viel Grundwissen,
> hab ich
> das Gefühl.
>
> Hab hier einige Aufgeben, die nicht schwer aussehen, wenn
> man den
> Hintergrund versteht!
> z.B. Ist Die Aussage richtig :
> es sei a [mm]\in[/mm] D [mm]\subset \IR[/mm] und f : D [mm]\to \IR[/mm] eine
> stetige Funktion
>
> |f|:D [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] |f(x)| ist stetig
>
> a ist Element D und D Teilmenge der reelen Zahlen, und f
> ist eine
> Abbildung von D in [mm]\IR.[/mm]
>
> Die Zeichen verstehe ich einigermaßen ,aber Kann mit jemand
> die Sache so erläuter, das ich mir das irgendwie vorstellen
> könnte.
Ich versuche es mal. Wenn du dir was vorstellen willst, dann zeichne eine stetige Funktion $f$ (mit Definitionsbereich $D [mm] \subseteq \IR$). [/mm] Was macht nun die Funktion $|f|$? Naja, wenn der Graph von $f$ im kartesischen Koordinatensystem oberhalb der $x$-Achse liegt, dann passiert nichts. Wenn $f$ aber negative Funktionswerte hat (das heißt, wenn der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse verläuft), dann wird dieser Bereich an der $x$-Achse gespiegelt!
Beispiel: $f: [mm] \underbrace{\IR}_{=D} \to \IR$, [/mm] $f(x)=x$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Der Graph von $f$ ist eine Gerade durch den Ursprung im kartesischen koordinatensystem, deren Steigung $=1$ ist. Wie sieht nun $|f|$ aus?
Naja, es gilt:
[mm] $|f|:\IR \to \IR$, $|f|(x)\stackrel{nach\;Def.\;von\;|f|}{=}|f(x)|\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}|x|$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Auf [mm] $[0,\;\infty[$ [/mm] sind also die Graphen von $f$ und $|f|$ identisch, auf [m]]-\infty,\;0[[/m] entsteht der Graph von $|f|$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$-Achse im kartesischen Koordinatensystem!
Weiteres Beispiel:
[mm] $D=[-2,\;2] \subset \IR$, [/mm] $f: [mm] [-2,\;2] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^3$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $|f|:D=[-2,\;2] \to \IR$, $|f|(x)\stackrel{nach\;Def.\;von\;|f|}{=}|f(x)|\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}\left|x^3\right|$ $\forall [/mm] x [mm] \in D=[-2,\;2]$
[/mm]
Zeichne nun mal den Graphen von (der zuletzt genannten Funktion) $f$ und zeichne danach mal den Graphen von $|f|$...
Nun aber zu deiner Aufgabe (wozu da $a [mm] \in [/mm] D$ steht, weiß ich nicht):
Ich nehme einfach an, dass ihr das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] benutzt:
Sei also [m]D \subseteq \IR[/m] und [mm] $f:\;D \to \IR$ [/mm] stetig. Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben und sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ beliebig, aber fest.
[mm] $(\star)$ [/mm] Da $f$ stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist, existiert ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
[/mm]
Nun gibt es eine Ungleichung, die man leicht mithilfe der Dreiecksungleichung beweisen kann.
Es gilt für alle $r,s [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $|\;|r|-|s|\;|\le [/mm] |r-s|$.
Dann folgt für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] (das ist das [mm] $\delta$ [/mm] aus [mm] $(\star)$) [/mm] auch für die Funktion $|f|$:
[mm]|\;|f|(x)-|f|(x_0)\;|\stackrel{nach\;Def.\;von\;|f|}{=}|\;|f(x)|-|f(x_0)|\;|
\stackrel{(\star_2)}{\le}|f(x)-f(x_0)|\stackrel{(\star)}{<}\varepsilon[/mm].
Also ist auch $|f|$ stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] D$. Da [mm] $x_0 \in [/mm] D$ beliebig war, ist auch $|f|$ stetig auf $D$.
Viele Grüße,
Marcel
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