stetigkeit dirichlet funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei f(x): [mm] \IR \to \IQ [/mm] die modifizierte dirichlet-funktion, def. als:
f(x)= x falls x [mm] \in \IQ [/mm] ; 0 falls x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
a) bestimmen und begründen Sie in welchen punkten f stetig ist.
b) zeigen Sie: in keinem p [mm] \not= [/mm] 0 gibt es einen grenzwert von f bei x [mm] \to [/mm] p |
a) also meine Idee wäre dass f für alle p [mm] \in [/mm] [k,l] [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] stetig ist, da es in diesem intervall für alle epsilon >0 ein delta >0 gibt, sodass für alle x aus [mm] \IR [/mm] mit |x-p| < delta gilt: |f(x)-f(p)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
kann man das so lassen?
b) also ich hätte eine fallunterscheidung gemacht. 1. fall: p [mm] \in \IQ: [/mm] f(p)=p kein grenzwert y,
da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt, liegt in jeder [mm] \delta [/mm] - Umgebung von p ein x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] dann folgt aber für dieses x f(x)=0 , somit |f(x)-y| < [mm] \varepsilon \forall \epsilon [/mm] >0 nicht gegeben, also kein GW
beim 2. fall p [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] komm ichn leider nicht recht voran. weiß jemand weiter?
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Guten Abend,
also erstmal zur a). Wenn die klar ist, dann wird die b) auch klarer.
> a) also meine Idee wäre dass f für alle p [mm]\in[/mm] [k,l] [mm]\in \IR[/mm]
> \ [mm]\IQ[/mm] stetig ist, da es in diesem intervall für alle
> epsilon >0 ein delta >0 gibt, sodass für alle x aus [mm]\IR[/mm]
> mit |x-p| < delta gilt: |f(x)-f(p)|< [mm]\varepsilon[/mm]
> kann man das so lassen? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein!
Hattet ihr schon, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt? Wie soll denn ein Intervall $[k,l] [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] aussehen. Egal wie nah du an eine Zahl aus [mm] $\IQ$ [/mm] herankommen willst, du wirst immer eine Zahl aus [mm] $\IR \backslash \IQ$ [/mm] finden die näher liegt (mit ausnahme der Zahl selbst...).
lg Kai
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