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Forum "Stetigkeit" - stetigkeit sinus
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stetigkeit sinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Di 05.12.2006
Autor: blinktea

Aufgabe
Sie f: [mm] \IR \to \IR [/mm] erklärt durch [mm] x\mapsto \begin{cases} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not={0} \\ 0, & \mbox{für } x ={ 0} \end{cases} [/mm]
zeige: für alle y [mm] \in [/mm] [-1,+1] gibt es eine folge [mm] (x_n) n\in \IN [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0 [/mm] und [mm] f(x_n)=y. [/mm] wo ist f stetig??

ist mit der folge diese gemeint: [mm] \wurzel \bruch{2}{[2n+1)\pi}? [/mm]
und [mm] sin\bruch{1}{x} [/mm] ist bei 0 unstetig,oder?
aber wie ich das alles zeige weiß ich nicht.
schon mal vielen dank für die hilfe :-)

        
Bezug
stetigkeit sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Mi 06.12.2006
Autor: angela.h.b.


> Sie f: [mm]\IR \to \IR[/mm] erklärt durch [mm]x\mapsto \begin{cases} sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not={0} \\ 0, & \mbox{für } x ={ 0} \end{cases}[/mm]
>  
> zeige: für alle y [mm]\in[/mm] [-1,+1] gibt es eine folge [mm](x_n) n\in \IN[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0[/mm] und [mm]f(x_n)=y.[/mm] wo ist
> f stetig??
>  ist mit der folge diese gemeint: [mm]\wurzel \bruch{2}{[2n+1)\pi}?[/mm]
>  
> und [mm]sin\bruch{1}{x}[/mm] ist bei 0 unstetig,oder?

Hallo,

zunächst einmal kannst Du Dir überlegen, daß die Funktion auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] stetig ist.

Nun bleibt noch x=0 übrig zum Überlegen.

Stetig im Punkt x=0, das bedeutet ja, daß für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 0 konvergiert, [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(0) konvergiert.

In der Aufgabe wirst Du darauf gestoßen, daß das für den Punkt 0 nicht der Fall ist.

Guck' Dir für jedes y aus dem Intervall [-1,1] die Folgen [mm] (x^{(y)}_n) [/mm] an mit [mm] x^{(y)}_n=\bruch{1}{arcsiny +2\pi n}. [/mm]  
Der Grenzwert dieser Folgen?
Der Grenzwert von [mm] f(x^{(y)}_n)? [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
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