stetigkeit sinx/x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Ist die Funktion f(x) = [mm] (\bruch{sinx}{x} [/mm] , x [mm] \not= [/mm] 0
0 , x=0
im punkt [mm] x_o=0 [/mm] stetig? Begründen sie die AUssage |
Hallo!
irgendwie verunsichern mich solche nur minimal abgeänderten Aufgaben immer wieder.
Die Stetigkeit von sinx habe ich ja schonmal gezeigt. eigentlich ist sinx/x ja nicht stetig, da es für x=0 eine Definitionslücke gibt.
Jetzt ist aber in der Aufgabe fuer x=0 die Funktion als f(x) = 0 definiert.
ist sie daher dann dort stetig und was mache ich dann damit?
danke für die tips,
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion f(x) = [mm](\bruch{sinx}{x}[/mm] , x [mm]\not=[/mm] 0
> 0
> , x=0
> im punkt [mm]x_o=0[/mm] stetig? Begründen sie die AUssage
> Hallo!
> irgendwie verunsichern mich solche nur minimal
> abgeänderten Aufgaben immer wieder.
> Die Stetigkeit von sinx habe ich ja schonmal gezeigt.
> eigentlich ist sinx/x ja nicht stetig, da es für x=0 eine
> Definitionslücke gibt.
> Jetzt ist aber in der Aufgabe fuer x=0 die Funktion als
> f(x) = 0 definiert.
> ist sie daher dann dort stetig und was mache ich dann
> damit?
>
> danke für die tips,
>
> katja
ich weiß nicht was Du verwenden darfst.
Es gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{sinx}{x}=1[/mm] , wie man aus der Potenzreihenentwicklung des Sinus sofort ablesen kann.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, du meinst mit Potenzreihenentwicklung des sinus, die Taylorentwicklung des sinus oder?
die ist bekannt.
aber ich bin mir nicht sicher, ob das da gefordert ist,
gäbe es denn noch eine andere möglichkeit?
danke für den ansatz fred! (nicht frad;))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm, du meinst mit Potenzreihenentwicklung des sinus, die
> Taylorentwicklung des sinus oder?
> die ist bekannt.
>
> aber ich bin mir nicht sicher, ob das da gefordert ist,
Probiers doch mal damit
>
> gäbe es denn noch eine andere möglichkeit?
Ja, mit de L'Hospital, falls Ihr das verwenden dürft.
>
>
> danke für den ansatz fred! (nicht frad;))
Bitteschön
FRED
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Hallo katjab,
man kann ohne Differenzialrechnung auskommen, wenn man Kreiszeiger im Einheitskreis betrachtet und dort Abschätzungen für sinx, x und tanx macht. Hieraus erhält man am Ende den gesuchten Grenzwert. Diese Methode wird in Büchern oft beim Bestimmen der Ableitung von sinx benutzt, denn dabei benötigt man den Grenzwert von sinx/x.
Such dort nach, wenn dich diese Methode interessiert.
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke für die vielen hinweise. hab es nun mit de l'hopital gelöst.
das ist der einzige franzose den ich mag (cauchy bäh) und daher muss ich ihm treu bleiben;)
gruss
katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> danke für die vielen hinweise. hab es nun mit de l'hopital
> gelöst.
> das ist der einzige franzose den ich mag
... nicht mal Alain Delon (zumindest in jungen Jahren) ?
> (cauchy bäh)
Na, na, der wird Dir in Deinem Physikstudium noch einige male bebgegnen
FRED
und
> daher muss ich ihm treu bleiben;)
>
> gruss
> katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 26.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo!
hab nochmal eine nachfrage, da ich festgestellt habe, dass es mir noch nicht ganz klar ist.
wir hatten ja gesagt
[mm] \limes_{x\rightarrow\o} \burhc{sinx}{x} [/mm] = 1 nach l'hopital oder wenn Potenzreihenentwicklung.
demnach ist die Funktion dort aber nicht stetig oder, da für f(0) = 0 angesetzt ist, ist das doch dann eine sprungstelle, und daher nicht stetig.
stimmt das so? (nicht dass ich nachher noch falsche schluesse ziehe...)
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Hallo katjap,
das ist korrekt. Die Funktion ist unstetig bei x=0.
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 26.09.2009 | | Autor: | katjap |
ich hab noch eine allgemeine frage dazu.
wenn ich nun eine funktion habe, und die definitonslücken sind mit werten definiert wie auch hier im beispiel. und ich soll diese auf stetigkeit untersuchen.
reicht es dann, wenn ich die definitonslücken auf stetigkeit untersuche? (also wie oben mit dem limes) oder muss ich dann noch zeigen, dass die funktion in allen anderen Punkten auch stetig ist?
Eigentlich müsste doch reichen. die Funktion f(x) hat nur diese Definitionslücken, und da die funktion in diesen Punkten definiert ist und dort stetig ist, ist die funktion allgemein stetig? Also dass dann gleichmässige stetigkeit vorliegt, oder liege ich fehl?
Brauche ich für den Nachweis der gleichmässigen Stetigkeit einen weiteren Beweis?
danke für die hilfe!
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"reicht es dann, wenn ich die definitonslücken auf stetigkeit untersuche? (also wie oben mit dem limes) oder muss ich dann noch zeigen, dass die funktion in allen anderen Punkten auch stetig ist?"
Du musst natürlich auch zeigen, dass sie in allen anderen Punkten stetig ist.
Mit welcher Begründung solltest du den Rest der Funktion einfach ignorieren dürfen?!
Aber: meistens geht das sehr einfach.
Denn über dein Vorlesungsskript wird dir ein "Repertoir" von elementaren Funktionen vorgestellt, für die du ab dann davon ausgehen kannst, dass die Stetigkeit bekannt ist.
Wird dir z.B. in der Vorlesung gesagt, dass die Sinusfunktion stetig ist, musst du ab dann nicht immer wieder zeigen dass sie stetig sind.
Es wurde einmal bewiesen und das kannst du dann benutzen.
Auch Kompositionen aus stetigen Funktionen sind stetig.
In solche einer Aufgabe musst du es trotzdem mal kurz erwähnen, z.B. "f(x) ist als komposition stetiger Funktionen stetig, es bleibt die Stetigkeit in x=0 zu prüfen" oder so ähnlich.
"Eigentlich müsste doch reichen. die Funktion f(x) hat nur diese Definitionslücken, und da die funktion in diesen Punkten definiert ist und dort stetig ist, ist die funktion allgemein stetig? Also dass dann gleichmässige stetigkeit vorliegt, oder liege ich fehl?"
Achtung!!! gleichmässige Stetigkeit ist etwas anderes, stellt eine stärkere Forderung auf!
Es gilt:
f(x) ist gleichmässig stetig => f(x) ist stetig
aber NICHT andersrum!!!!!!!!
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 26.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke, ich glaube ich habe es nun verstanden.
katja
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