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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 26.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
hab ma eine frage in sachen stetigkeit...und zwar wie man zeigen kann dass ein funktion stetig bzw unstetig ist
also ich nehm ma als einfaches beispiel f(x)=x
damit ich zeigen kann dass diese funktion stetig ist nehm ich mir einen beliebigen punkt [mm] x_0 [/mm] und zeige an ihm dass stetig ist,wöfür ja [mm] links-\limes_{x \to \x_0}f(x)=rechts-\limes_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)
[/mm]
also links- [mm] \limes_{x \to \x_0}f(x)= \limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n}=\limes_{n \to \unendlich}(x_0-\bruch{1}{n} =x_0
[/mm]
das gleiche kommt beim rechten limes und auch beim funktionswert raus ,also ist diese funktion stetig
jetzt die funktion [mm] f(x)=\bruch{2x²}{4x²-4}
[/mm]
links- [mm] \limes_{x \to \x_0}f(x)=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n} [/mm] )
wenn ich das dann weiter ausrechne komm ich auf [mm] \bruch{x_0^2}{2x_0^2-2} [/mm]
der rechtsseitige limes is das gleiche aber beim funktionswert kommt [mm] \bruch{2x_0^2}{4x_0^2-4} [/mm]
also ist diese funktion nicht stetig
und das dritte beispiel [mm] f(x)=\bruch{x²}{x} [/mm]
wenn ich das so beweise dann komm ich für den links-rechtsseitigen limes auf [mm] "x_0" [/mm] und beim funktionswet ebenfalls auf [mm] "x_0"
[/mm]
das müsste dann ja heissen dass diese funktion nicht stetig ist,f(x)=x aber dei stetige ergänzung ist
so mein zweites anliegen ist die symmetrie
nehmen wir die funktion [mm] f(x)=\bruch{2x²}{4x²-4} [/mm]
für die achsensymmetrei muss folgende gleichung erfüllt sein :
[mm] \bruch{2x²}{4x²-4} =\bruch{2(-x)²}{4(-x²)-4} [/mm]
da sie das ist die die funktion achsensymmetrisch
für punktsymmetrie muss gelten
[mm] \bruch{2x²}{4x²-4} =-(\bruch{2(-x)²}{4(-x²)-4})
[/mm]
[mm] \bruch{2x²}{4x²-4}= \bruch{-2x²}{4x²-4}
[/mm]
also keine punktsymmetrie
meine fragen sind da jetzt:
1.stimmt das mit der stetigkeit soweit?
2.stimmt die rechung mit der punktsymmetrie?
3:wie kann ich beweisen wozu eine funktion achsen-bzw punktsymmetrisch ist ? (auch wenn diese funktion nicht punktsymmetrisch ist )
danke schonma und gruß
christopher
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 26.10.2005 | | Autor: | ribu |
hallo der_puma
bei der ersten frage kann ich dir leider nich helfen, jedoch bei der zweiten und dritten....
deine rechnung zur punktsymmetrie ist soweit richtig.
aber das konnte man schon vorher an der funktion erkennen, denn soweit ich weiß sind funktionen mit grade exponenten von x immer achsen-symmetrisch, jedoch weiß ich nich ob es auch bei gebrochen-rationalen funktionen gilt...
nun aber zur 3. frage:
damit eine funktion achsensymmetrisch ist, muss [mm] f(x)=f(-x) [/mm] gelten
und damit eine funktion punktsymmetrisch ist, muss [mm] -f(x)=f(-x) \vee f(x)=-f(-x) [/mm] gelten...
ich hoffe ich konnte dir helfen,
mfg ribu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 26.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
naja ich meinte eiegntlich wie amn das spezieller beweisen kann...also bei der funktion [mm] \bruch{2x²}{4x²-4} [/mm] :wie kann ich da beweisen dass diese achsensymmetrisch zur y-achse ist ?
wäre noch dankbar für eine antwort auf meien erste frage
gruß
christopher
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Hallo Christopher!
Damit eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss für alle $x_$ des Definitionsbereiches gelten: $f(+x) \ = \ f(-x)$ .
Nun setze in Deine Funktion doch einfach mal $-x_$ ein:
[mm]f(-x) \ = \ \bruch{2*(-x)^2}{4*(-x)^2-4} \ = \ ...[/mm]
Was erhältst Du?
Gruß vom
Roadrunner
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Hi, Puma,
> also ich nehm ma als einfaches beispiel f(x)=x
> damit ich zeigen kann dass diese funktion stetig ist nehm
> ich mir einen beliebigen punkt [mm]x_0[/mm] und zeige an ihm dass
> stetig ist,wöfür ja [mm]links-\limes_{x \to \x_0}f(x)=rechts-\limes_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)[/mm]
>
> also links- [mm]\limes_{x \to \x_0}f(x)= \limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n}=\limes_{n \to \unendlich}(x_0-\bruch{1}{n} =x_0[/mm]
>
> das gleiche kommt beim rechten limes und auch beim
> funktionswert raus ,also ist diese funktion stetig
Stetig an der Stelle [mm] x_{0}!
[/mm]
> jetzt die funktion [mm]f(x)=\bruch{2x²}{4x²-4}[/mm]
>
> links- [mm]\limes_{x \to \x_0}f(x)=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n}[/mm]
> )
Anders als in Deinem ersten Beispiel ist es hier aber nicht so ganz egal, welches [mm] x_{0} [/mm] Du nimmst! [mm] x_{0} [/mm] darf z.B. nicht +1 oder -1 sein!
> wenn ich das dann weiter ausrechne komm ich auf
> [mm]\bruch{x_0^2}{2x_0^2-2}[/mm]
> der rechtsseitige limes is das gleiche aber beim
> funktionswert kommt [mm]\bruch{2x_0^2}{4x_0^2-4}[/mm]
> also ist diese funktion nicht stetig
Das ist natürlich ein Fehlschluss, der "rein algebraisch" entstanden ist:
[mm] \bruch{2x_0^2}{4x_0^2-4} [/mm] = [mm] \bruch{2*x_0^2}{2*(2x_0^2-2)} [/mm]
= [mm] \bruch{x_0^2}{2x_0^2-2)} [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Auch diese Funktion ist für jedes [mm] x_{0} [/mm] Aus der zugehörigen Definitionsmenge stetig!
> und das dritte beispiel [mm]f(x)=\bruch{x²}{x}[/mm]
> wenn ich das so beweise dann komm ich für den
> links-rechtsseitigen limes auf [mm]"x_0"[/mm] und beim funktionswert
> ebenfalls auf [mm]"x_0"[/mm]
> das müsste dann ja heissen dass diese funktion nicht
> stetig ist,
Wieso auf einmal?!
Alle drei Werte stimmen überein!
Die Funktion ist in ihrer gesamten Definitionsmenge stetig!
> f(x)=x aber die stetige ergänzung ist
Was wiederum nur für [mm] x_{0} [/mm] = 0 (!!) Sinn macht!
Für x=0 ist Deine Funktion wirklich nicht stetig (sonst aber überall!) und zwar genau deshalb, WEIL ES DEN FUNKTIONSWERT f(0) nicht gibt!
Heißt: Die Sache mit der Steigkeit hast Du aber noch nicht so ganz drauf!
> so mein zweites anliegen ist die symmetrie
> nehmen wir die funktion [mm]f(x)=\bruch{2x²}{4x²-4}[/mm]
>
> für die achsensymmetrei muss folgende gleichung erfüllt
> sein :
> [mm]\bruch{2x²}{4x²-4} =\bruch{2(-x)²}{4(-x²)-4}[/mm]
> da sie das ist die die funktion achsensymmetrisch
Genauer gesagt: Der GRAPH ist achsensymmetrisch!
Eine Funktion mit achsensymmetrischem Graphen wird "gerade Funktion" genannt!
>
> für punktsymmetrie muss gelten
> [mm]\bruch{2x²}{4x²-4} =-(\bruch{2(-x)²}{4(-x²)-4})[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x²}{4x²-4}= \bruch{-2x²}{4x²-4}[/mm]
> also keine
> punktsymmetrie
Total überflüssig!
Der einzige Funktionsgraph, der SOWOHL achsensymmetrisch zur y-Achse,
ALS AUCH punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist,
ist die x-Achse selbst!
Heißt: Wenn Du Achsensymmetrie zu x=0 bewiesen hast,
KANN PUNKTSYMMETRIE zu (0;0) NICHT MEHR VORLIEGEN!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 26.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
aso...also alle die funktionen die ich genannt hab sind in ihren DEFINITIONSBEREICH stetig...jedoch muss man bei manchen sachen was ausschleissen :bei der einen funktion halt die polstellen "1" und "-1" und bei der anderen die "0" und die funktion f(x)=x²/x ist auch in ihrem definitionsberech stetig jedoch muss man dei "0" ausschleißen und wenn amn diese stelle betrachtet dann ist f(x)=x die stetige ergänzung für deise unstetigkeitsstelle
und es gibt auch keine stetige oder unstetige funktion sonder stetige und unstetige stellen
so oder?
gruß christopher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Do 27.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo puma
> aso...also alle die funktionen die ich genannt hab sind in
> ihren DEFINITIONSBEREICH stetig...jedoch muss man bei
> manchen sachen was ausschleissen :bei der einen funktion
> halt die polstellen "1" und "-1" und bei der anderen die
> "0" und die funktion f(x)=x²/x ist auch in ihrem
> definitionsberech stetig jedoch muss man dei "0"
> ausschleißen und wenn amn diese stelle betrachtet dann ist
> f(x)=x die stetige ergänzung für deise unstetigkeitsstelle
eigentlich ist f(x)=x²/x in x=0 nicht def. Die stetige Ergänzung an einer Stelle ist aber nicht f(x)=x sondern f(0)=0 und du musst zeigen, dass der links und rechtsseitige Grenzwert bei 0 existiert und 0 ist.
> und es gibt auch keine stetige oder unstetige funktion
> sonder stetige und unstetige stellen
Man spricht von stetigen Funktionen in einem Intervall f(x)=x ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, usw. die anderen auf dem Intervall [mm] (-\infty,0) [/mm] und (0,+ [mm] \infty [/mm] )
Es gibt auch überall unstetige Funktionen, oder welche, die an unendlich vielen Stellen stetig,und an unendlich vielen unstetig sind, aber die kommen an der Schule nicht vor.
Gruss leduart
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