stochastische Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Di 15.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich beschäftige mich mit einem Lemma und dessen Beweis.
Lemma :
Für Zufallsvariablen [mm] Z_n \ : \ \Omega \to \mathbb R [/mm] gelte:
(i) [mm] E ( Z_n) \to \mu [/mm] für [mm] n \to \infty \ , \ \mu \in \mathbb R [/mm]
(ii) [mm] Var ( Z_n) \to 0 [/mm] für [mm] n \to \infty [/mm].
Dann gilt: [mm] P ( \{ \ | Z_n - \mu \ | \ge \epsilon \} ) \to 0 [/mm] für [mm] n \to \infty, \ \epsilon > 0 [/mm]
[ Frage : Also es ist zu zeigen, dass die Folge [mm] Z_n [/mm] stochstisch gegen 0 konvergiert, richtig? ]
Beweis :
Wähle zu gegebenen [mm] \epsilon > 0 [/mm] ein [mm] n_0 \in \mathbb N [/mm], so dass [mm] | \ E(Z_n) - \mu \ | \le \bruch{\epsilon}{2} \ \forall \ n \ge n_0 [/mm].
Aus der Dreiecksungleichung folgt für alle [mm] n \ge n_0 [/mm]:
(*) [mm] \{ \omega \ : \ | Z_n (\omega) - \mu | \ge \epsilon \} \subset \{ \omega \ : \ | Z_n (\omega) - E(Z_n) | \ge \bruch{ \epsilon}{2} \} [/mm]
Für [mm] n \ge n_0 [/mm] gilt dann:
[mm] P( \{ | Z_n - \mu | \ge \epsilon \} ) \le P ( \{ | Z_n - E(Z_n) | \ge \bruch{ \epsilon}{2} \} ) \le \bruch{ Var (Z_n)}{ ( \bruch{ \epsilon}{2})^2 } [/mm]
[ Frage : Wie konstruiere ich diese Dreiecksungleichung, so dass aus ihr (*) folgt ? ]
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:25 Do 17.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hallo,
deine erste Frage würde ich mit "Ja" beantworten.
Zu der zweiten: Ich sehe grad nicht genau wieso, aber ich vermute gemeint ist diese Ungleichung:
[mm] |E(Z_{n}) [/mm] - [mm] \mu| [/mm] = [mm] |E(Z_{n}) [/mm] - [mm] Z_{n} [/mm] + [mm] Z_{n} [/mm] - [mm] \mu| \le |E(Z_{n}) [/mm] - [mm] Z_{n}| [/mm] + [mm] |Z_{n} [/mm] - [mm] \mu|
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Als erstes Dankeschön für die Antwort!
Diese Dreieicksungleichung habe ich auch betrachtet, jedoch sehe ich auch nicht, wie aus diese Ungleichung der Rest folgt...
Woher kommen z.B auch diese Abschätzungen
[mm] | \ E(Z_n) - Z_n \ | \ge \bruch{ \epsilon}{2} [/mm] und [mm] | \ Z_n - \mu \ | \ge \epsilon [/mm] ?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 20.12.2009 | | Autor: | Turis |
So, habs (glaub ich) raus:
Wir haben die falsche UGL angeschaut und vorallem: Es geht nicht darum diese Ungleichungen mit größer-gleich epsiolon irgendwie zu bekommen, sondern es geht lediglich um die Inklusion. Daher betrachte:
[mm] \varepsilon \le |Z_{n}(w)-\mu|=|Z_{n}(w)-E(Z_{n})+E(Z_{n})-\mu|
[/mm]
[mm] \le |Z_{n}(w)-E(Z_{n})| [/mm] + [mm] |E(Z_{n})-\mu|
[/mm]
[mm] \le |Z_{n}(w)-E(Z_{n})| [/mm] + [mm] \varepsilon/2
[/mm]
So bekommt man die Inklusion.
Die letzte Abschätzung bekommt dann natürlich mit Tschebychew. Das konvergiert dann gegen Null (wenn man z.b. [mm] \varepsilon^{3} [/mm] wählt bei [mm] V(Z_{n})->0)) [/mm] und der Beweis ist fertig.
Schöne Aufgabe :)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 So 20.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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