stochastische Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei [mm] \Omega [/mm] = [0,1] und [mm] \IP [/mm] die Gleichverteilung auf [mm] \Omega, [/mm] d.h. [mm] \IP([a,b])=b-a [/mm] für alle 0 [mm] \le [/mm] a < b < 1
für x [mm] \in \IR [/mm] bezeichne [x] die größte Zahl in [mm] (-\infty, [/mm] x]. Sei [mm] H\IH_{n}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] und
[mm] A\IA_{n}=\{x-[x] | x \in [H\IH_{n},H\IH_{n+1}] \}
[/mm]
Zeigen sie für die ZV [mm] X\IX_{n} [/mm] = [mm] \I1_{An}, [/mm] dass gilt:
[mm] X\IX_{n} [/mm] konvergiert stochastisch gegen 0, aber [mm] X\IX_{n} [/mm] konvergiert nicht "fast sicher" gegen 0.
Wenn mir da mal einer auf die Sprünge helfne könnte ..... ich wäre EWIG dankbar!
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Hallo!
Für die stochastische Konvergenz gegen $0$ musst du zeigen:
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Dann gilt [mm] $\limes_{n\to\infty} P\big(|X_n(\omega)|>\varepsilon\big)=0$.
[/mm]
O.E. wählen wir [mm] $\varepsilon<1$.
[/mm]
Zeige zuerst, dass [mm] $\mu(A_n)\le \bruch [/mm] 1n$:
In [mm] $[H_n;H_{n+1}]$ [/mm] kann höchstens eine ganze Zahl liegen.
Falls keine drin liegt, ist [mm] $A_n=\big[H_n-[H_n];H_{n+1}-[H_n]\big]$ [/mm] und die Behauptung damit klar.
Sonst bezeichne diese ganze Zahl mit [mm] $x_n$. [/mm] Dann ist [mm] $A_n=\left\{x-x_n:\ x\in[H_n;H_{n+1}]; x\ge x_n\right\}\cup \left\{x+1-x_n:\ x\in[H_n;H_{n+1}]; x< x_n\right\}=:A_{n1}\cup A_{n2}$.
[/mm]
Es gilt [mm] $\mu(A_{n1})=(H_{n+1}-x_n)-(x_n-x_n)=H_{n+1}-x_n$ [/mm] und [mm] $\mu(A_{n2})=(x_n+1-x_n)-(H_n+1-x_{n})=x_n-H_n$.
[/mm]
Insgesamt: [mm] $\mu(A_n)\le \mu(A_{n1})+\mu(A_{n2})= H_{n+1}-H_n=\bruch [/mm] 1n$.
Dann ist [mm] $P\big(|X_n(\omega)|>\varepsilon\big)=P\big(\omega\in A_n\big)=\mu(A_n)\le \bruch 1n\to [/mm] 0$.
Fast sichere Konvergenz bedeutet, dass [mm] $\limes_{n\to\infty} P\big(\sup\limits_{m\ge n}|X_m(\omega)|>\varepsilon\big)=0$.
[/mm]
Tatsächlich liegt hier sogar [mm] $\limes_{n\to\infty} P\big(\sup\limits_{m\ge n}|X_m(\omega)|>\varepsilon\big)=1$ [/mm] vor!
Hast du eine Idee, wie du das zeigen könntest? Es hat etwas damit zu tun, dass [mm] $H_n\to\infty$!
[/mm]
Gruß, banachella
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