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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 26.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Expeditionsteilnehmer mit einer tropischen
Krankheit in ziert hat, beträgt 20%. Um zu überprüfen, ob dieser an der Krankheit leidet,
werden n unabhängige Tests durchgeführt, die mit Wahrscheinlichkeit 99% das richtige Ergebnis
anzeigen. Der Expeditionsteilnehmer erhält nun das Ergebnis, dass alle n Tests negativ
ausgefallen sind. Wie groß muss n sein, um eine Infektion mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 99; 999% ausschließen zu können? |
Hallo ihr,
brächte ein wenig Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe.
Habe absolut keine Ahnung wie ich das angehen soll. Kann mir da bitte jemand helfen.
Viele Grüße und besten Dank.
Felix
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Hallo Felix,
es handelt sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeit. Definiere Dir die zwei Ereignisse
I = "Expeditionsteilnehmer infiziert" und
[mm] T_{k} [/mm] = "k-ter Test zeigt Ergebnis korrekt an"
mit den entsprechenden Gegenereignissen. Für diese Ereignisse kennst du die Wahrscheinlichkeiten.
Zeichne Dir dann einen Wahrscheinlichkeitsbaum auf mit zunächst 2 Ebenen. Die erste Ebene besteht aus den Ereignissen I und [mm] \overline{I}, [/mm] die zweite Ebene dann aus den Ereignissen [mm] T_{1} [/mm] und [mm] \overline{T_{1}}. [/mm] Die dritte bis n+1-te Ebene sind dann die weiteren Tests, die durchgeführt werden.
Fehlt noch die gegebene Wahrscheinlichkeit. In der Aufgabenstellung steht, dass alle n Testergebnisse negativ waren. Gegeben ist nach Aufgabenstellung, wie groß dann die Wahrscheinlichkeit ist, dass er die Infektion nicht hat. Also ist die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass er nicht infiziert ist, unter der Bedingung, dass alle n Tests dieses negative Ergebnis korrekt anzeigen (was ja mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit der Fall ist).
[mm] P\left(\overline{I}|\bigcap_{i=1}^{n} T_{i}\right), [/mm] ist also die Wahrscheinlichkeit, die gegeben ist (99.999%). Dummerweise kann man die genau nicht im Baum ablesen aber da fällt dir sicher was zu ein (du wolltest ja nur einen Hinweis).
Wenn du das hast, setzt du diese Wahrscheinlichkeit größer gleich 99.999% und stellst nach n um, dann sollte das richtige Ergebnis herauskommen.
Ich hoffe, dass mein Hinweis korrekt ist (Gewähr übernehme ich nicht, weil's schon spät ist :) ) und er dir weiterhilft.
Viele Grüße,
Ralf
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:06 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke dir für deine Antwort.
Ok das mit dem "Baumdiagramm habe ich verstanden", weiß nur nicht wie ich das hier aufshreiben soll.
aber [mm] P\left(\overline{I}|\bigcap_{i=1}^{n} T_{i}\right) [/mm] = [mm] \bruch{P(\overline{I} \cap \bigcap_{i=1}^{n} T_{i})}{P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i})} [/mm] * [mm] \bruch{P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i}) * P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i} \cap \overline{I})}{P(\overline{I})} =\bruch{1}{0,8} [/mm] * [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i} \cap \overline{I})
[/mm]
= 1,25 * [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i} \cap \overline{I})
[/mm]
jetzt dies?
1,25 * [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i} \cap \overline{I}) \ge [/mm] 0,99999
[mm] \gdw P(\bigcap_{i=1}^{n} T_{i} \cap \overline{I}) \ge [/mm] 1,2499875
Wie mache ich das jetzt weiter?
Vielen dank nochmal.
Grüße
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 29.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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