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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 26.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega [/mm] ;A ; P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie: Wenn zwei Ereignisse A
und B unabhängig sind, dann auch [mm] A^c [/mm] und B sowie [mm] A^c [/mm] und [mm] B^c. [/mm] Wie üblich ist dabei [mm] A^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ A und [mm] B^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ B. |
Hi,
Also habe einen Anfang denke ich, aber irgendwie fehlt mir der Schluss. Wäre nett, wenn sich das jemand mal anschauen könnte bitte.
[mm] P(A\cap [/mm] B) = P(A) * P(b)
[mm] P(A^c\cap [/mm] B) = [mm] P((\Omega [/mm] \ A ) [mm] \cap [/mm] B) = [mm] (P(\Omega) [/mm] - P(A)) * P(B) = (1- P(A)) * P(B) = P(B) - P(A) * P(B) = P(B) - [mm] P(A\capB) [/mm]
= P(B \ (A [mm] \cap [/mm] B) ) = P(B)
Ist das überhaupt richtig?
[mm] P(A^c\cap B^c) [/mm] = [mm] P((\Omega [/mm] \ A ) [mm] \cap \Omega [/mm] \ B) = [mm] (P(\Omega) [/mm] - P(A)) * [mm] (P(\Omega) [/mm] - P(B)) = (1 - P(A)) * (1 - P(B))
= 1 - P(A) - P(B) + P(A)*P(B)
Ist - P(A) - P(B) insgesamt (-1) und daher [mm] P(A^c\cap B^c) [/mm] = P(A)*P(B)? Darf ich das wegen der Unabhängigkeit annehmen?
Vielen Dank im Voraus.
Gruß
Felix
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Zu aller erst mal ein kleines Beispiel für zwei unabhängige Ereignisse (thx an dieser Stelle an den Autor des zugehörigen Wikipedia-Artikels^^), dass ich im folgenden wahrscheinlich ein paar Mal benutzen werde:
Wenn wir mit einem 6-seitigen (idealen) Würfel würfeln so sind die Ereignisse "das Ergebnis ist gerade" und "das Ergebnis ist durch 3 teilbar" unabhängig (genauer siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastische_Unabh%C3%A4ngigkeit#Beispiel)
Also zu deiner ersten Umformung:
Wenn ich das richtig sehe hast du bereits nach dem zweiten Gleichheitszeichen in deiner Umforumungskette benutzt, dass [mm] $A^c$ [/mm] und B unabhängig sind, sonst hättest du diese Auflösung der Wahrscheinlichkeit des Schnitts doch garnicht benutzen dürfen.
Wenn du das, was du eigendlich zeigen möchtest, aber mitten im Beweis benutzt, macht das die ganze Sache zu nichte...
Außerdem ist mir am Schluss noch nicht ganz klar, wie du darauf kommst:
P(B \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) ) = P(B)
Das würde gelten, wenn der Schnitt von A und B leer ist (Gegenbeispiel siehe oben und Wiki, die 6 ist in beiden enthalten, trotzdem sind sie unabhängig).
Allerdings wäre dann P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = 0 , was durchaus ungleich P(A)*P(B) sein könnte...
Ist der Schnitt von A und B nicht leer so wäre
P(B \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) ) = P(B \ A) = [mm] P($A^c \cap [/mm] $ B), womit du wieder am Anfang stehst.
Zur zweiten Umformung:
Nein, P(A)+P(B) kann durchaus [mm] $\ne$ [/mm] 1 sein (siehe dazu wieder obiges Wiki-Beispiel).
Und zu guter Letzt nochmal ein Auszug aus dem Wiki-Artikel:
Sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig, dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das eine eintritt, nicht, wenn das andere eintritt (beziehungsweise nicht eintritt).
Auf Grund dieser Aussage würde ich an die Aufgabe heran gehen.
Wenn A und B unabhängig sind bedeutet das nach Definition, dass das Eintreten von A keinerlei Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass B eintritt.
Wären [mm] $A^c$ [/mm] und B allerdings abhängig so würde das bedeuten, dass das NICHT-Eintreten von A relevant für B ist.
Ich glaube es ist sofort ersichtlich dass wir, wenn wir sagen "ob A eintritt ist absolut egal, aber ob A nicht eintritt ist wichtig", einen krassen Widerspruch haben.
Stellt sich allerdings noch die Frage, ob der Aufgabensteller eine solche Argumentation akzeptiert oder ob er explizite Rechnungen haben möchte...
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Dankeschön, hoffe er nimmt diese Argumentation an, ich versuche das aber noch mal mit den Wahrscheinlichkeitsmaß auszudrücken.
Danke dir nochmal.
Gruß
Felix
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