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| Aufgabe | [mm] (X_{1},...,X_{n}) [/mm] seien iid. mit [mm] X_{i} [/mm] ~ [mm] U(0,\theta), \theta [/mm] > 0, [mm] \alpha \in [/mm] (0,1),
[mm] H_{0}: \theta \le [/mm] 1 und [mm] H_{1}: \theta [/mm] > 1
[mm] H_{0} [/mm] wird abgelehnt [mm] \gdw [/mm] max [mm] X_{i} [/mm] > [mm] (1-\alpha)^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Zeige: Der Test hat das Niveau [mm] \alpha [/mm] |
Da ich bisher nur Hypothesen hatte, wo die erste Hypothese einen festen Wert hatte fehlt mir bei dieser Aufgabe schon der Ansatz.
[mm] \Theta_{0}=\{\theta: \theta \le 1\}
[/mm]
[mm] \Theta_{1}=\{\theta: \theta > 1\}
[/mm]
Ich will nicht dass man mir die Aufgabe hier vorrechnet. Jedoch wäre ich über Tipps und Ratschläge sehr sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 14.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
der Test hat das Niveau, wenn selbst im worst-case Fall für [mm] $\theta\in H_0$ $H_0$ [/mm] höchstens mit Wkeit [mm] $\alpha$ [/mm] fälschlich abgelehnt wird.
D.h. wenn für das wahre [mm] $\theta=1$ [/mm] Dein Test noch funktioniert, dann tut er es auch für alle [mm] $\theta<1$
[/mm]
Sagen wir [mm] $\theta=0.2$
[/mm]
Wie wahrscheinlich ist dann, daß wir [mm] $H_0 [/mm] fälschlich ablehnen, d.h.
$max [mm] X_{i} [/mm] > [mm] (1-\alpha)^{\bruch{1}{n}} [/mm] $
Nicht nur sehr unwahrscheinlich, sondern sogar unmöglich (für realistische [mm] $\alpha$)
[/mm]
[mm] $P_\theta(max X_{i} [/mm] > [mm] (1-\alpha)^{\bruch{1}{n}}) [/mm] $ wird umso größer, je größer [mm] $\theta$ [/mm] ist. Ist die Wkeit für [mm] $\theta=1$ [/mm] noch immer kleiner/gleich [mm] $\alpha$, [/mm] dann gilt das auch für jedes [mm] $\theta<1$.
[/mm]
ciao
Stefan
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Tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht.
Wo fließt hier die Gleichverteilung mit ein.
Und wieso wird
$ [mm] P_\theta(max X_{i} [/mm] > [mm] (1-\alpha)^{\bruch{1}{n}}) [/mm] $ umso größer, je größer $ [mm] \theta [/mm] $ ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 14.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht.
> Wo fließt hier die Gleichverteilung mit ein.
In der Berechnung der Grenze [mm] $(1-\alpha)^{\bruch{1}{n}})$. [/mm] Die würde sonst anders aussehen.
> Und wieso wird
> [mm]P_\theta(max X_{i} > (1-\alpha)^{\bruch{1}{n}})[/mm] umso
> größer, je größer [mm]\theta[/mm] ist?
Rechnerisch kannst Du das selber. Wie sieht denn die Verteilung von [mm] $\max_i X_i$ [/mm] aus?
Anschaulich; wenn [mm] $X_i \sim [/mm] U(0,100)$, dann erscheint es doch wahrscheinlich, daß das Maximum über alle [mm] $X_i$ [/mm] größer ist, als wenn [mm] $X_i\sim [/mm] U(0,1)$.
ciao
Stefan
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