streng monoton fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | Zeigen sie: Die Folge [mm] ((1+1/n)^n+1)_{n} [/mm] ist streng monoton fallend |
Hallo
ich habe versucht dies zu zeigen. Kann es aber nur zeigen in dem ich mir eine Tabelle anfertige wie wir das in der Schule gemacht hatten. Hier soll ich es aber anders zeigen und ich weis nicht wie. Kann mir jemand helfen?
Diese Frage habe ich nur in diesem Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
ich möchte mich verbessern: bei der Aufgabenstellung muss es heißen [mm] ((1+1/n)^{n+1})_{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 28.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zur Vereinfachung mal folgende Definition: [mm] a_{n}:=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
Ich würde das per Induktion versuchen, also zeige, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
Also der Ind. Anfang:
[mm] a_{1}=(1+1/1)^{1+1}=2²=4>3,375=(1,5)^{3}=(1+1/2)^{2+1}=(1+1/(1+1))^{2+1}=a_{2}=a_{1+1}
[/mm]
Ind-Vorauss.:
[mm] a_{n}>a_{n+1}
[/mm]
oder auch [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1+1}
[/mm]
Den Induktionsschritt versuche mal selber.
Tipp.
Mach eine (Un)Gleichungskette
[mm] a_{n+2}=\left(1+\bruch{1}{n+2}\right)^{n+2+1}...>...\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1+1}=a_{n+1}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
An einer Stelle komm ich nicht weiter:
a_(n+1)= [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1}=(1+\bruch{1}{n})^n*(1\bruch{1}{n})=(\bruch{1+n}{n})^n*(\bruch{n+1}{n})= \bruch{1}{\bruch{n}{n+1}^(n-1)}*\bruch{1}{\bruch{n}{n+1}}>...................=(1+\bruch{1}{n+2}^{n+3}=(1+\bruch{1}{n+2}^{n+2+1}=a_(n+2)
[/mm]
bei dieset Stelle.......weiß ich nicht was ich machen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Fr 28.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> An einer Stelle komm ich nicht weiter:
>
> a_(n+1)=
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}=(1+\bruch{1}{n})^n*(1\red{+}\bruch{1}{n})=(\bruch{1+n}{n})^n*(\bruch{n+1}{n})= \bruch{1}{\bruch{n}{n+1}^(n-1)}*\bruch{1}{\bruch{n}{n+1}}>...................=(1+\bruch{1}{n+2}^{n+3}=(1+\bruch{1}{n+2}^{n+2+1}=a_(n+2)[/mm]
>
> bei dieser Stelle.......weiß ich nicht was ich machen muss.
>
Du hast bisher die Induktionsvoraussetzung noch nicht benutzt, ausserdem sind ein paar kleine (Tipp)Fehler drin
" [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1}=(1+\bruch{1}{n})^n*(1\red{+}\bruch{1}{n})=... [/mm] "
Ein paar klammern am Ende fehlen noch.
Also fang mal an:
$$ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1} [/mm] $$
$$ [mm] =\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{IND.Vorauss}{>}\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}*\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] $$
$$ [mm] =\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}*\left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] $$
Versuch jetzt mal, alleine weiterzukommen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
also an deiner Stelle weiter:
= [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n}) [/mm] > dann muss ich ja die Vorraussetzung wieder einsetzten
> [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}* (1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
und jetzt müsste ich den Term mit ^(n+2) noch auseinanderziehen. Aber wenn ich das hinschreibe kann ich mir nicht vorstellen das dáss das stimmt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 28.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> also an deiner Stelle weiter:
>
> = [mm](1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n})[/mm]
> > dann muss ich ja die Vorraussetzung wieder einsetzten
> > [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}* (1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> und jetzt müsste ich den Term mit ^(n+2) noch
> auseinanderziehen. Aber wenn ich das hinschreibe kann ich
> mir nicht vorstellen das dáss das stimmt??
Das sieht doch schon gut aus.
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}* (1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] >(1+\bruch{1}{n+1})^{n+2} [/mm] ( denn [mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] und [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] sind beide >1)
[mm] =(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1+1}
[/mm]
[mm] =a_{n+1}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
ok , ist dass dann meine Lösung? Und daraus folgt dass die Folge streng monoton fallend ist?
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Hallo ulla!
Ja, damit bist Du fertig. Schließlich hast Du durch diese Umformungen bzw. vollständige Induktion gezeigt, dass [mm] $a_n [/mm] \ > \ [mm] a_{n+1}$ [/mm] (jedes Folgenglied [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ist kleiner als sein Vorgänger [mm] $a_n$).
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Fr 28.11.2008 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für die Hilfe , ich denke dass ich es jetzt schon besser verstanden habe!
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> Zeigen sie: Die Folge [mm]((1+1/n)^n+1)_{n}[/mm] ist streng monoton
> fallend
Hier ist beim Exponenten sicher ein kleines
Missgeschick passiert. Es müsste heissen:
[mm]((1+1/n)^{n+1})_{n}[/mm]
(in TeX: Exponent in geschweifte Klammern fassen)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Fr 28.11.2008 | | Autor: | winni87 |
Hallo
ich hab nochmal ne Frage hierzu.
Den ersten Teil des Induktionsschritts kann ich noch nachvollziehen.
Aber was hier nach dem > Zeichen steht kann ich nicht nachvollziehen.
$ [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}\cdot{} (1+\bruch{1}{n+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{n}) [/mm] $
$ [mm] >(1+\bruch{1}{n+1})^{n+2} [/mm] $ ( denn $ [mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] $ und $ [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] $ sind beide >1)
$ [mm] =(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1+1} [/mm] $
$ [mm] =a_{n+1} [/mm] $
was passiert hier? es wäre echt lieb, wenn ihr es mir erklären könntet.
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Hallo Winni!
Hier wird anhand der beiden letzten Klammern abgeschätzt:
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}\cdot{} \underbrace{\red{\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)}}_{> \ 1}\cdot{}\underbrace{\blue{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}}_{> \ 1}$$
[/mm]
[mm] $$\red{>} [/mm] \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}*\red{1}*\blue{1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+2}$$
[/mm]
$$= \ [mm] a_{n+1}$$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Fr 28.11.2008 | | Autor: | winni87 |
vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden :)
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