strikte Ordnungsrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | Zeige: die Relation [mm] R:=\{(p,r)\inNxN | p\in q\} [/mm] ist eine strikte Ordnungsrelation.
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Also muss man zeigen: 1. transitiv: pRq [mm] \wedge [/mm] qRm-> pRm (für alle p,q,m in N
2. asymmetrisch: pRq-> [mm] \neg [/mm] qRm
Ich weiß schon, dass dies zu zeigen ist, aber ich habe keinen Ansatz.
Ich brauche jemanden, der mir es auch erklärt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeige: die Relation [mm]R:=\{(p,r)\inNxN | p\in q\}[/mm] ist eine
> strikte Ordnungsrelation.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
überprüfe nachmal Deine Aufgabenstellung.
Unter [mm] p\in [/mm] q kann ich mir im Falle natürlicher Zahlen p,q nämlich nichts vorstellen.
Gruß v. Angela
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> Also muss man zeigen: 1. transitiv: pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
> (für alle p,q,m in N
> 2. asymmetrisch: pRq-> [mm]\neg[/mm] qRm
>
> Ich weiß schon, dass dies zu zeigen ist, aber ich habe
> keinen Ansatz.
> Ich brauche jemanden, der mir es auch erklärt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
leider ist das genau was gefragt wird, davor steht noch die Definition von strikte Ordnung, wie folgt:
Sei M eine Menge und R [mm] \subset [/mm] MxM eine Relation. Wir sagen, dass R eine strikte Ordnungsrelation auf M ist wenn gilt:
1. R ist transitiv: für alle p,q,m in M gilt:pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
2. asymmetrisch:für alle p,g in M: pRq-> [mm]\neg[/mm] qRm
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Hallo,
es geht mir um dies:
> $ [mm] R:=\{(p,r)\inNxN | p\in q\} [/mm] $.
Hast Du das vielleicht falsch abgeschrieben?
Ich könnte jedenfalls nicht entscheiden, ob das Zahlenpaar [mm] (5,6)\in [/mm] R ist oder eben nicht. Weil ich mir unter [mm] 5\in [/mm] 6 nichts vorstellen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
Hast recht , da steht
R:= [mm] {(p,q)\in NxN i p\in q}
[/mm]
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> Hast recht , da steht
> R:= [mm]\{(p,q)\in NxN i p\in q\}[/mm]
Tut mir leid, ich kann mir darauf keinen Reim machen.
Vielleicht fragst Du mal Deine Chefs, ob es sich um einen Druckfehler handelt?
Mit N meinst Du doch [mm] \IN, [/mm] oder?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
ja, mit N meine ich [mm] \IN.
[/mm]
Kannst du mir genau sagen, was dir bei der Aussage fehlt? Weil ich muss nämlich, nachdem ich dieser Relation strikte Ordnung nachgewiesen habe, noch beweisen, dass sie auch totele Ordnung und Wohlordnung ist.
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> ja, mit N meine ich [mm]\IN.[/mm]
> Kannst du mir genau sagen, was dir bei der Aussage fehlt?
Das hab' ich doch gleich in meinem ersten Post gesagt und danach auch noch:
Ich kann mit unter [mm] p\in [/mm] q nichts vorstellen. Wie kann eine natürliche Zahl Element einer anderen sein?
Vielleicht gibt's da vorher noch eine Def. dazu, und [mm] \in [/mm] bedeutet hier gar nicht "Element von" ?
Gruß v. Angela
> Weil ich muss nämlich, nachdem ich dieser Relation strikte
> Ordnung nachgewiesen habe, noch beweisen, dass sie auch
> totele Ordnung und Wohlordnung ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
aber natürlich kann [mm] p\in [/mm] q sein, z. B. als Nachfolger.
wenn also p= {x}, dann q={p [mm] \cup [/mm] {x}} und damit [mm] p\in [/mm] q
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> aber natürlich kann [mm]p\in[/mm] q sein, z. B. als Nachfolger.
> wenn also p= {x}, dann [mm] q=\{p\cup\{x\}\} [/mm] und damit [mm]p\in[/mm] q
Hallo,
also steht Dein N nicht für [mm] \IN, [/mm] die ganz normalen natürliche Zahlen?
Denn wenn Du schreibst p= [mm] \{x\}, [/mm] dann ist das p ja kein Element von [mm] \IN, [/mm] sondern irgendeine Menge.
Wie entscheidest Du denn nun, ob [mm] (7,13)\in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ein Element von R ist oder nicht? Mir ist das aus dem, was Du schreibst, nicht klar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
ich habe p={x} als Beispiel Eingeführt und nicht als Vorgabe für [mm] p\in [/mm] q, ich Verstehe nämlich nicht wie die Vorgabe deiner Meinung nach aussehen sollte. Könntest du vielleicht einen Beispiel schreiben etwa so: [mm] R:={(p,q)\in NxN I und jetzt was hier stehen könnte }
[/mm]
danke,
Irina
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> ich habe p={x} als Beispiel Eingeführt und nicht als
> Vorgabe für [mm]p\in[/mm] q, ich Verstehe nämlich nicht wie die
> Vorgabe deiner Meinung nach aussehen sollte. Könntest du
> vielleicht einen Beispiel schreiben etwa so: [mm]R:={(p,q)\in NxN I und jetzt was hier stehen könnte }[/mm]
>
> danke,
> Irina
>
Hallo,
es spielt ja keine Rolle, was ich meine, was da stehen sollte, die Aufgaben machen ja Deine Chefs.
Hm. Solltest Du womöglich selbst eine strikete Odnungsrelation auf [mm] \IN [/mm] finden und beweisen, daß es eine ist?
Dann wäre [mm] R:=\{(p,q)\in \IN x \IN | p
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
hm, kannsein...
ich schreib gleich meinem Tutor, mal sehen was er dazu sagt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 31.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn p,q natürliche Zahlen sein sollen, also aus [mm] \IN
[/mm]
dann gibt es nur die Möglichkeit p<q [mm] ,p\le [/mm] q und p>q
Wenn p,q Elemente einer Menge sind, ist [mm] p\in [/mm] q kein sinnvoller Ausdruck. denn [mm] \in [/mm] heisst doch :ist Element von.
Wenn p,q selbst Mengen sind wie in deinem Beispiel dann kann man nur schreiben [mm] p\subset [/mm] q
Dein q={p [mm] \cup [/mm] {x}} ist doch wieder p, die Vereinigung einer Menge mit sich selbst ist wieder die Menge.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | Hallo, also ich habe meinen Tutor darauf angesprochen und hier ist was er mir geantwortet hat. |
Meine Aufgabenstellung nochmal: Zeige: die Relation [mm]R:=\{(p,r)\inNxN | p\in q\}[/mm] ist eine
> strikte Ordnungsrelation.
> Also muss man zeigen: 1. transitiv: pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
> (für alle p,q,m in N
> 2. asymmetrisch: pRq-> [mm]\neg[/mm] qRm
seine antwort:In der Vorlesung habt ihr die natuerlichen Zahlen nicht als diese Menge definiert :{0,1,2,3,...} , sonder als diese:
{0,{0},{0,{0}},...}
Das heisst die 1 entspricht zum Beispiel der Menge {0}. Also ist 0 in {0} enthalten.
So macht die angegebene Relation wieder Sinn.
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> Hallo, also ich habe meinen Tutor darauf angesprochen und
> hier ist was er mir geantwortet hat.
> Meine Aufgabenstellung nochmal: Zeige: die Relation
> [mm]R:=\{(p,r)\inNxN | p\in q\}[/mm] ist eine
> > strikte Ordnungsrelation.
> > Also muss man zeigen: 1. transitiv: pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
> > (für alle p,q,m in N
> > 2. asymmetrisch: pRq-> [mm]\neg[/mm] qRm
>
> seine antwort:In der Vorlesung habt ihr die natuerlichen
> Zahlen nicht als diese Menge definiert :{0,1,2,3,...} ,
> sonder als diese:
> {0,{0},{0,{0}},...}
> Das heisst die 1 entspricht zum Beispiel der Menge {0}.
> Also ist 0 in {0} enthalten.
> So macht die angegebene Relation wieder Sinn.
Nun, das ist mal wichtig zu wissen !
Etwas scheint mir aber nach wie vor nicht klar:
Was soll das r ?
Sollte es nicht etwa heißen: [mm] R:=\{(p,q)\inNxN | p\in q\} [/mm] ???
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | Hi! Hast recht, hab grad Post vom Prof. bekommen, es soll tatsächlich anders sein. |
[mm]R:=\{(p,q)\inNxN | p\in q\}[/mm]
hoffentlich kann mir jemand helfen...)
LG
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> Hi! Hast recht, hab grad Post vom Prof. bekommen, es soll
> tatsächlich anders sein.
> [mm]R:=\{(p,q)\inNxN | p\in q\}[/mm]
Ja, das sieht besser aus.
Jetzt sollte man mal das Konstruktionsprinzip für
die Menge [mm] \IN [/mm] genau unter die Lupe nehmen.
Du hast angegeben:
[mm] $\IN\ [/mm] =\ [mm] \{0,\{0\},\{0,\{0\}\},...\}$
[/mm]
Leider ist daraus das genaue Konstruktionsprinzip
noch nicht erkennbar. Gib bitte exakt an, wie jeweils
das neu dazutretende Element aus den bisherigen
aufgebaut wird. Für den gefragten Beweis ist das
dann wohl schon die halbe Miete.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | hm, meinst du wie man von 0 auf 1 usw. kommt? |
so was wie
0={}
1={{} [mm] \cup [/mm] {0}}
oder doch nicht?
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Nun, gemeint ist wohl die Konstruktion nach
von Neumann:
0 ist die leere Menge: [mm] 0=\{\}
[/mm]
1 ist die Menge mit dem einzigen Element 0: [mm] 1=\{0\}=\{\{\}\}
[/mm]
2 ist die Menge der Elemente 0 und 1: [mm] 2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\}
[/mm]
3 ist die Menge der Elemente 0, 1 und 2: [mm] 3=\{0,1,2\}=\{\{\},\{\{\}\}.\{\{\},\{\{\}\}\}\}
[/mm]
etc.
Kurz gesagt:
Jede natürliche Zahl (hier inklusive der Null)
wird also definiert als die Menge aller kleineren
natürlichen Zahlen. Zur Null gibt es keine
kleinere natürliche Zahl, also entspricht Null
der leeren Menge.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, hier fasse ich noch mal alles zusammen. |
Meine Aufgabenstellung nochmal: Zeige: die Relation [mm]R:=\{(p,q)\inNxN | p\in q\}[/mm] ist eine
> strikte Ordnungsrelation.
> Also muss man zeigen: 1. transitiv: pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
> (für alle p,q,m in N
> 2. asymmetrisch: pRq-> [mm]\neg[/mm] qRm
In der Vorlesung habt ihr die natuerlichen Zahlen nicht als diese Menge definiert :{0,1,2,3,...} , sonder als diese:
{0,{0},{0,{0}},...}
Das heisst die 1 entspricht zum Beispiel der Menge {0}. Also ist 0 in {0} enthalten.
So macht die angegebene Relation wieder Sinn.
> Nun, gemeint ist wohl die Konstruktion nach
> von Neumann:
>
> 0 ist die leere Menge: [mm]0=\{\}[/mm]
> 1 ist die Menge mit dem einzigen Element 0:
> [mm]1=\{0\}=\{\{\}\}[/mm]
> 2 ist die Menge der Elemente 0 und 1:
> [mm]2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\}[/mm]
> 3 ist die Menge der Elemente 0, 1 und 2:
> [mm]3=\{0,1,2\}=\{\{\},\{\{\}\}.\{\{\},\{\{\}\}\}\}[/mm]
>
> etc.
>
> Kurz gesagt:
> Jede natürliche Zahl (hier inklusive der Null)
> wird also definiert als die Menge aller kleineren
> natürlichen Zahlen. Zur Null gibt es keine
> kleinere natürliche Zahl, also entspricht Null
> der leeren Menge.
>
jetzt wäre nicht schlecht, mit der Aufgabe selbst anzufangen...
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> jetzt wäre nicht schlecht, mit der Aufgabe selbst
> anzufangen...
absolut einverstanden
da hab ich gar nichts dagegen ...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:31 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ha, ha ist nicht lüstig... |
ich frag ja, gerade ob mir jemand hilft...!
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> ha, ha ist nicht lüstig...
> ich frag ja, gerade ob mir jemand hilft...!
Hallo,
ich find#s auch nicht lustig:
über mangelnde Hilfe kannst Du Dich ja nun in diesem Thread nicht beklagen.
Beachte bitte auch die Forenregeln: wir wollen eigene Lösungsansätze von Dir sehen.
Nachdem nun die Aufgabenstellung weitgehend klar ist, kann's ja losgehen.
Wie war das? Die Transitivität war zunächst zu zeigen?
Wann fang doch mal beherzt an.
Was war nochmal zu zeigen?
Wie lautet das "übersetzt" für Deine spezielle Relation?
Das wäre doch mal ein Anfang.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ich habe es eigentlich schon mehrere Male angeschrieben, aber egal: |
Also muss man zeigen:
1. transitiv: für [mm] \forall [/mm] p,q,m [mm] \in \IN:
[/mm]
pRq [mm] \wedge [/mm] qRm-> pRm
2. asymmetrisch: Für [mm] \forall [/mm] p,q [mm] \in \IN:
[/mm]
pRq-> [mm] \neg [/mm] qRp
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> ich habe es eigentlich schon mehrere Male angeschrieben,
> aber egal:
ganz egal ist das nicht. Man sollte es schon vor Augen haben, damit klar ist, worüber wir sprechen.
> Also muss man zeigen:
> 1. transitiv: für [mm]\forall[/mm] p,q,m [mm]\in \IN:[/mm]
> pRq [mm]\wedge[/mm] qRm-> pRm
Genau.
Übersetze pRq usw. nun für den Spezialfall Deiner speziellen Relation?
Wie erkennst Du, daß p und q zueinander in Relation stehen?
Gruß v. Angela
>
> 2. asymmetrisch: Für [mm]\forall[/mm] p,q [mm]\in \IN:[/mm]
>
> pRq-> [mm]\neg[/mm] qRp
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | na, ja eigentlich ich das die hälfte meines problems |
pRq, weil p [mm] \in [/mm] q?
wenn q [mm] \in [/mm] m, dann gilt: qRm?
und was muss ich weiter machen?
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> na, ja eigentlich ich das die hälfte meines problems
Hallo,
na siehst Du, das ist ja prima, daß das Problem jetzt endlich eingekreist ist.
> pRq, weil p [mm]\in[/mm] q?
Ja. So ist ja Deine Relation definiert.
pRq [mm] \gdw p\in [/mm] q.
> wenn q [mm]\in[/mm] m, dann gilt: qRm?
Ja, genau.
Übersetzt haben wir jetzt also schonmal, daß zu zeigen ist:
[mm] (p\in [/mm] q und [mm] q\in [/mm] m) ==> [mm] p\in [/mm] m.
Der Beweis startet so:
sei [mm] p\in [/mm] q und [mm] q\in [/mm] m.
[Euren Ausführungen habe ich entnommen, daß [mm] (\*) n:=\{0,1,2 ..., n-1\}. [/mm] ]
Also ist [mm] p\in \{0,1,2 ..., q-1\} [/mm] und [mm] q\in \{0,1,2,...,m-1}.
[/mm]
Nun muß man hieraus folgern ,daß [mm] p\in \{0,1,2,3,...,m-1\} [/mm] richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | muss ich hier irgendwas nachrechnen oder nur begründen? |
Kann die Begründung dann so aussehen:
[mm] p\in [/mm] q und [mm] q\in [/mm] m) ==> [mm] p\in [/mm] m.
>
> sei [mm]p\in[/mm] q und [mm]q\in[/mm] m.
>
[mm] (\*) n:=\{0,1,2 ..., n-1\}.
[/mm]
> Also ist [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}[/mm] und [mm] q\in \{0,1,2,...,m-1}
[/mm]
>
[mm] p\in \{0,1,2 ..., q-1\} [/mm] UND [mm] q\in \{0,1,2,...,m-1 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] p\in \{0,1,2 ..., q-1\} [/mm] und {0,1,2 ..., [mm] q-1\}\in \{0,1,2,...,m-1}\Rightarrow
[/mm]
[mm] p\in \{0,1,2 ..., q-1\}\in \{0,1,2,...,m-1}\Rightarrow p\in \{0,1,2,...,m-1} \Rightarrow [/mm] p [mm] \in [/mm] q
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> muss ich hier irgendwas nachrechnen oder nur begründen?
Hallo,
naja, "rechnen" ist vielleicht zuviel gesagt.
Aber die Begründung (=Beweis) muß sich unmittelbar aus Definitionen ergeben, und nicht aus irgendwelchen "Gefühlen".
Das ist oftmals vor allem bei sehr einsichtigen Tatsachen schwer, weil man strikt trennen muß zwischen dem, was man aus der Vorlesung verwenden darf und dem, was man aus seinem Vorleben so weiß.
Normalerweise würde ich(!) jetzt so argumentieren:
> [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}[/mm] UND [mm][mm] q\in \{0,1,2,...,m-1 }
[/mm]
==> p<q und q< m ==> p<q<m ==> p<m.
Aber VORSICHT: ich bin mir ganz sicher, daß die <-Relation gar nicht verwendet werden darf. Also können wir das streichen.
Deine Begründung, welche von der Art her durchaus das ist, was hier gefordert ist, hat am Ende eine Schwäche:
Du schreibst
> $ [mm] p\in \{0,1,2 ..., q-1\}\in \{0,1,2,...,m-1\} \Rightarrow p\in \{0,1,2,...,m-1\}
[/mm]
Die Folgerung ist natürlich hier richtig.
Aber es fehlt die Begründung für das Tun, welche aus der Def. der nat. Zahlen schöpfen muß.
Für irgendwelche beliebigen Mengen gilt das, was Du so forsch behauptest, nämlich überhaupt nicht:
Seien a,b,c paarweise verschieden,
Sei [mm] A:=\{ a,b\}, [/mm] B:= [mm] \{ \{ a,b\} , c\}.
[/mm]
Es ist [mm] a\in [/mm] A und [mm] A\in [/mm] B. Aber a ist kein Element von B.
Ich denke, man muß etwas mehr machen.
Erinnern wir uns zunächst an das Bildungsprinzip:
$ [mm] 0=\{\} [/mm] $
1 ist die Menge mit dem einzigen Element 0: $ [mm] 1=\{0\}=\{\{\}\} [/mm] $
2 ist die Menge der Elemente 0 und 1: $ [mm] 2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\} [/mm] $
3 ist die Menge der Elemente 0, 1 und 2: $ [mm] 3=\{0,1,2\}=\{\{\},\{\{\}\}.\{\{\},\{\{\}\}\}\} [/mm] $
n+1 ist die Menge der Elemente 0, 1,... ,n: $ [mm] n+1=\{0,1,2,...,n\}
[/mm]
Es gilt: [mm] p\in [/mm] q ==> [mm] p\subseteq [/mm] q.
(Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob man das auch noch zeigen muß.
Ich gehe einfach mal davon aus, daß es bereits getan wurde.)
Was haben wir jetzt gewonnen?
Ich habe die [mm] \in-Beziehung [/mm] ausgedrückt mithilfe der Teilmengenbeziehung. Und Teilmengenbeziehungen kennen wir.
So, nach den Vorreden und -überlegungen sähe mein Beweis heute so aus:
zu zeigen : [mm]p\in[/mm] q und [mm]q\in[/mm] m ==> [mm]p\in[/mm] m
Bew.: Sei [mm]p\in[/mm] q und [mm]q\in[/mm] m .
Nach der Konstruktion von [mm] \IN [/mm] ist [mm] q\subseteq [/mm] m.
Also ist jedes Element von q auch Element von m.
Da [mm] p\in [/mm] q ist somit [mm] p\in [/mm] m, was zu zeigen war.
Gruß v. Angela
> [mm]p\in[/mm] q und [mm]q\in[/mm] m) ==> [mm]p\in[/mm] m.
> >
> > sei [mm]p\in[/mm] q und [mm]q\in[/mm] m.
> >
> [mm](\*) n:=\{0,1,2 ..., n-1\}.[/mm]
> > Also ist [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}[/mm]
> > und [mm]q\in \{0,1,2,...,m-1}[/mm]
> >
>
> [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}[/mm] UND [mm]q\in \{0,1,2,...,m-1 } \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und {0,1,2 ..., [mm]q-1\}\in \{0,1,2,...,m-1}\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]p\in \{0,1,2 ..., q-1\}\in \{0,1,2,...,m-1}\Rightarrow p\in \{0,1,2,...,m-1} \Rightarrow[/mm]
> p [mm]\in[/mm] q
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
x={x} z. B. 2={{}, {0}, {1}}
[mm] x^{+}={x \cup {x}} [/mm] 3={{2} [mm] \cup [/mm] {}, {0}, {1}}
also genau was du gemeint hast.
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