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Forum "Funktionalanalysis" - submultiplikativität der operatornorm
submultiplikativität der operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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submultiplikativität der operatornorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Mo 12.04.2004
Autor: andreas

hi
seit geraumer zeit versuche ich einen beweis für die submultiplikativität der operatornorm zu finden:

seien [m] E, F [/m] zwei [m] \IR [/m]-vektorräume und
[m] L(E, F) = \{ T: E \to F: T [/m] linear und stetig[m] \} [/m],  die menge der stetigen operatoren von [m] E [/m] nach [m] F [/m]

[m] \|T\|_L := \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|}{\|x\|} [/m]

nun gilt (falls [m] E = F [/m]): [m] \|ST\|_L \le \|S\|_L\|T\|_L [/m]

ich finde aber leider keinen beweis dafür!

wäre nett, wenn ihr mir da helfen könntet.

andreas

        
Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mo 12.04.2004
Autor: Marc

Hallo andreas,

willkommen im MatheRaum :-)!

>  seit geraumer zeit versuche ich einen beweis für die
> submultiplikativität der operatornorm zu finden:
>  
> seien [m]E, F[/m] zwei [m]\IR [/m]-vektorräume und
> [m]L(E, F) = \{ T: E \to F: T[/m] linear und stetig[m] \} [/m],  die
> menge der stetigen operatoren von [m]E[/m] nach [m]F[/m]
>  
> [m]\|T\|_L := \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|}{\|x\|}[/m]
>  
> nun gilt (falls [m]E = F [/m]): [m]\|ST\|_L \le \|S\|_L\|T\|_L[/m]
>  
>
> ich finde aber leider keinen beweis dafür!

Ich hoffe, ich mache es mir hier mit meinem Beweis nicht zu einfach:

Aus der Definition
[m]\|T\|_L := \sup\limits_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|}{\|x\|}[/m]
folgt natürlich
[m]\bruch{\|Tx\|}{\|x\|} \le \|T\|_L[/m] [mm] $\forall x\in E\setminus\{0\}$ [/mm]
[mm] $\gdw \|Tx\| \le \|T\|_L*\|x\|$ $\forall x\in E\setminus\{0\}$ [/mm]

Deswegen gilt auch folgende Ungleichungskette:

[mm] $\|S(Tx)\| \le \|S\|_L*\|Tx\| \le \|S\|_L*\|T\|_L*\|x\|$ $\forall x\in E\setminus\{0\}$ [/mm]

[mm] $\gdw \bruch{\|S(Tx)\|}{\|x\|} \le \|S\|_L*\|T\|_L$ $\forall x\in E\setminus\{0\}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \sup\limits_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|STx\|}{\|x\|}\le \|S\|_L*\|T\|_L$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \|ST\|_L \le \|S\|_L*\|T\|_L$ [/mm]

Mir macht nur ein bisschen Sorge, dass ich die Stetigkeit von $T$ bzw. $S$ nicht benutzt habe, aber vielleicht ist sie auch nur zur Definition von [mm] \|\cdot\|_L [/mm] notwendig.

Was sagen die Experten dazu?

Alles Gute,
Marc


Bezug
                
Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Mo 12.04.2004
Autor: andreas

hi
danke für die schnelle hilfe. für mich sieht das alles korrekt aus. meiner ansicht nach braucht man die stetigkeit (wahrscheinlich) nur für die beschränktheit des operators und damit einer sinnvollen definition der operatornorm.

danke.

andreas

p.s. sehr schönes mathe-board (vor allem die editierung der formeln mit TeX)

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Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Mo 12.04.2004
Autor: GrafZahl


> Mir macht nur ein bisschen Sorge, dass ich die Stetigkeit
> von $T$ bzw. $S$ nicht benutzt habe, aber vielleicht ist
> sie auch nur zur Definition von [mm] \|\cdot\|_L [/mm] notwendig.
>  

die Vermutung ist richtig.  Man kann leicht zeigen, daß für lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen gilt (Übungsaufgabe ;-) ):

T stetig  [mm] \gdw [/mm] T beschränkt (d.h. beschränkte Mengen werden auf beschränkte Mengen abgebildet).

Wegen
[mm] \|T\|_L := \sup\limits_{\|x\|=1 } {\|Tx\|}[/mm]
folgt erst aus der Stetigkeit, daß alle auftauchenden Suprema endlich sind.


Nachtrag:
Beispiel für eine nicht-stetige Abbildung gefällig, auch wenn niemand danach gefragt hat?  Bitte sehr:

[mm] E=C[0,1] [/mm],
[mm] \|f\|_E = \integral_0^1{|f(x)| dx} [/mm]
[mm] T(f)=const [/mm] mit [mm]const=f(0) [/mm]

T ist linear, aber die Operatornorm ist [mm] \infty. [/mm]  Und T ist nicht stetig.  

Bezug
                
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submultiplikativität der operatornorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mo 12.04.2004
Autor: Paulus

Hallo andreas, hallo marc und alle anderen

ich hab in meinem Analysis-Buch (Christian Blatter: Analysis, Springerverlag 1974) auch einen Beweis gefunden, der sich auf die Schwarzsche Ungleichung stützt. Ich wollte den Beweis zuerst auch posten, jetzt ist mir aber marc zuvorgekommen ... ;-).

Trotzdem noch eine Bemerkung oder eine Verständnisfrage:

Laut deiner Definition ist:

[mm]\|T\|_L := \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|}{\|x\|} [/mm]

Ich habe aber eine andere, und ich glaube plausiblere Definition gefunden:

[mm]\|T\|_L := \sup_{|x| \ne 0} \bruch{|Tx|}{|x|} = \sup_{|x| = 1} |Tx| [/mm]

Es stehen also rechterhand Beträge, nicht wieder Normen, was dann ja eine rekusive Definition wäre.

Frage: was ist nun korrekt?

Da ich Mathe nur noch als Hobby betreibe und mein Studium schon recht lange zurückliegt, erwarte ich nicht unbedingt eine Klärung meiner Verständnisfrage. Wahrscheinlich habe ich das ganze halt nicht so richtig begriffen! Für meinen gesunden Schlaf wäre es aber doch schön, wenn das geklärt werden könnte, hat aber absolut keine Priorität!!


und noch was:

>  
> Mir macht nur ein bisschen Sorge, dass ich die Stetigkeit
> von $T$ bzw. $S$ nicht benutzt habe, aber vielleicht ist
> sie auch nur zur Definition von [mm] \|\cdot\|_L [/mm] notwendig.
>  

Nach meiner Auffassung sind lineare Abbildungen quasikontrahierend, und deshalb automatisch stetig. Die Stetigkeit muss also nicht in den Beweis einfliessen.

Und dann noch was: etwas Besseres als dieses Mathe-Forum hätte der Welt nicht passieren können!

:-) :-) :-)

Viel Grüsse

Bezug
                        
Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mo 12.04.2004
Autor: andreas

hi paulus


> Laut deiner Definition ist:
>  
> [mm]\|T\|_L := \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|}{\|x\|}[/mm]
>  
> Ich habe aber eine andere, und ich glaube plausiblere
> Definition gefunden:
>  
> [mm]\|T\|_L := \sup_{|x| \ne 0} \bruch{|Tx|}{|x|} = \sup_{|x| = 1} |Tx|[/mm]

ich hätte bei meiner frage vielleicht noch anfügen sollen, dass es sich bei [m] E [/m] und [m] F [/m] um normierte räume mit den normen [m] \| \cdot \|_E [/m] und [m] \| \cdot \|_F [/m] handelt. dann sieht nämlich die definition folgendermaßen aus:

[mm]\|T\|_L := \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{\|Tx\|_F}{\|x\|_E}[/mm]


damit ist die definition nicht mehr rekursiv, da es sich bei  [m] \| \cdot \|_E [/m] und [m] \| \cdot \|_F [/m] um schon vorher definierte normen handelt (wohl das, was bei dir die beträge sind).



> Nach meiner Auffassung sind lineare Abbildungen
> quasikontrahierend, und deshalb automatisch stetig. Die
> Stetigkeit muss also nicht in den Beweis einfliessen.


im endlich-dimensionalen reicht es linearität zu fordern, aber sobald die dimension des vektorraums nicht endlich ist, gibt es lineare abbildungen die nicht stetig sind (siehe post von GrafZahl um 16:32:06)


grüße

andreas

ps Paulus: es wäre nett, wenn du die idee des beweises mit der cauchy-schwarz-ungleichung posten könntest, wenn es kein großer aufwand ist. danke

Bezug
                                
Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Mo 12.04.2004
Autor: Paulus

Hallo Andreas

vielen Dank für die Aufklärung.

Ich werde bei Gelegenheit mich mal daran machen, die Beweisidee zu skizzieren. Es wird aber wohl noch bis zum Mittwoch warten müssen...
(Neben dem Hobby Mathe gehe ich noch einem Beruf nach, und ich bin im Erfassen der mathematischen Formeln mit TeX noch nicht sehr geübt, muss immer die Vorschau bemühen, korrigieren, wieder Vorschau, ... --> sehr zeitaufwändig) ;-))

Viele Grüsse

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submultiplikativität der operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Mo 12.04.2004
Autor: Stefan

Hallo Paulus,

den Beweis kannst du dir sparen, und zwar aus den folgenden Gründen:

1.) Gezeigt wird im Blatter damit nicht die von Andreas gefragte Behauptung, sondern lediglich eine Abschätzung für eine spezielle Operatornorm. Die Behauptung, um die es eigentlich geht, wird im Blatter genauso gezeigt wie von Marc.

2.) Der Beweis richtet sich nur auf eine Abbildung [mm]L: \IR^m \to \IR^n[/mm], wobei die beiden (im Vergleich zur Aufgabenstellung viel spezielleren!) Vektorräume zudem mit der euklischen Norm versehen sind (und daher auch hier eine Spezialisierung vorgenommen wurde, die der Situation der Aufgabenstellung nicht gerecht wird).

3.) Der "Blatter" ist ein schlechtes Analysis-Buch. (Ich habe ihn nur deswegen, weil ich Mathebücher sammle. ;-))

4.) Es geht nicht einfacher als so, wie es Marc vorgerechnet hat.

Dennoch Danke für deine Bemühungen!

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
submultiplikativität der operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Mo 12.04.2004
Autor: Paulus

Hallo Stefan, hallo Andreas und übrige Mitleser

vielen Dank, dass du mir die Arbeit ersparst.

>  
> 3.) Der "Blatter" ist ein schlechtes Analysis-Buch. (Ich
> habe ihn nur deswegen, weil ich Mathebücher sammle. ;-))
>  

Da bin ich allerdings nicht ganz deiner Meinung.
Ich habe bei Professor Blatter selbst studiert (in den siebziger Jahren), und das Buch ist eigentlich nichts anderes als das Skript zu seiner Vorlesung, die er an der ETH Zürich gehalten hat. Ausserdem wurde das Buch für die Semester 1 und 2 des Mathematikstudiums verwendet, also als Einführung in die Analysis.

Ich finde, als Lehrbuch ist das Buch, in didaktischer Hinsicht, recht gut aufgebaut, wenn man es von vorne bis hinten seriös durcharbeitet!

Ihn als Nachschlagewerk zu gebrauchen... na ja! ;-)

Vielleicht hätte der Titel eher "Einführung in die Analysis" heissen sollen, dieser Titel war wohl schon Besetzt (Spekulation!)

Viele Grüsse

Bezug
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