substituieren v part.Integr? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes bestimmte Integral:
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx} [/mm] |
Hallo, wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte...
mein Problem, welche Methode zum Integrieren ist angebracht??
Da es ein Produkt ist, würde ich partiell ableiten, allerdings wäre der exponent von e gut zu substituieren ... kann ich beides gleichzeitig anwenden?
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}
[/mm]
[mm] u=e^\bruch{2}{x}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] \(e^\bruch{2}{x}*-x^-^1-\integral_{1}^{3}...*x^-2 [/mm] dx
Stammfunktion von [mm] e^\bruch{2}{x} [/mm] weiß ich jetzt leider nciht...
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Hallo,
deine Substitution ist falsch. Wähle
[mm] u=\bruch{2}{x}
[/mm]
mit
[mm] u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
> Hallo,
>
> deine Substitution ist falsch. Wähle
>
> [mm]u=\bruch{2}{x}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}[/mm]
>
[mm]u=\bruch{2}{x}[/mm]
[mm]u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}[/mm]
[mm] u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2
[/mm]
[mm] dx=du*\bruch{1}{-\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
ist es so korrekt umgeformt??
>
> Gruß, Diophant
>
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Hallo Tony,
nein, das ist nicht richtig.
> [mm]u=\bruch{2}{x}[/mm]
>
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}[/mm]
>
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2[/mm]
>
> [mm]dx=du*\bruch{1}{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
>
> ist es so korrekt umgeformt??
Richtig wäre [mm] $dx=-\bruch{1}{2}x^2\ [/mm] du$
Wenn Du das nicht nachvollziehen kannst, dann rechne Deine Umformungen mal kleinschrittiger vor.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Okay...
$ [mm] u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2 [/mm] $ /*dx
$ du=-2x^-^2 *dx $ /:-2x^-^2
[mm] \bruch{du}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx
[/mm]
[mm] du*\bruch{1}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx
[/mm]
so habe ich es gemacht... aber diese Brüche & Kehrwerte bringen mich des öfteren durcheinander.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also, zur Erinnerung: Es war vorgeschlagen worden
$ [mm] u=\bruch{2}{x} [/mm] $
mit
$ [mm] u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2} [/mm] $
> Okay...
>
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2[/mm] /*dx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]du=-2x^-^2 *dx[/mm] /:-2x^-^2
> [mm]\bruch{du}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch
[mm] $$du/(-2x^{-2})=\frac{du}{-2x^{-2}}=\frac{du}{-2}*x^{+2}=\frac{-1}{2}x^2du\;\;\;(=dx)$$
[/mm]
> [mm]du*\bruch{1}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
>
> so habe ich es gemacht... aber diese Brüche & Kehrwerte
> bringen mich des öfteren durcheinander.
Ja, man sieht's: Wenn Du [mm] $a^{-n}*b=c$ [/mm] hast (ich verzichte auf das
Aufzählen von Voraussetzungen, die nur dazu dienen, dass da sinniges
steht!), dann ist das das gleiche wie
[mm] $$b=\frac{c}{a^{-n}}\,,$$
[/mm]
und [mm] $1/a^m=a^{-m}$ [/mm] kann man dann benutzen und erhält
[mm] $$b=c*a^{-(-n)}=c*a^n$$
[/mm]
(Alternativ: [mm] $a^{-n}*b=c$ [/mm] mit [mm] $a^n$ [/mm] beidseitig multiplizieren liefert
[mm] $$a^n*a^{-n}*b=a^n*c \gdw a^{n+(-n)}*b=a^n*c \gdw 1*b=a^n*c \gdw b=a^n*c\,,$$
[/mm]
also das gleiche Ergebnis!)
Grob gesagt: Schreibst Du Potenzen aus dem Nenner in den Zähler (oder
umgekehrt) - bei unveränderter Basis, so muss der Exponent sein
Vorzeichen ändern!
Bspe.:
[mm] $$\frac{1}{2^3}=2^{-3}$$
[/mm]
[mm] $$\frac{1}{e^{2/3}}=e^{-2/3}$$
[/mm]
[mm] $$\frac{7}{3^{-9}}=7*\frac{1}{3^{-9}}=7*3^9$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
> Hallo,
>
> also, zur Erinnerung: Es war vorgeschlagen worden
> [mm]u=\bruch{2}{x}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}[/mm]
>
> > Okay...
> >
> > [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2[/mm] /*dx
>
>
>
> > [mm]du=-2x^-^2 *dx[/mm] /:-2x^-^2
>
>
>
> > [mm]\bruch{du}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
>
>
>
> Es ist doch
>
> [mm]du/(-2x^{-2})=\frac{du}{-2x^{-2}}=\frac{du}{-2}*x^{+2}=\frac{-1}{2}x^2du\;\;\;(=dx)[/mm]
>
> > [mm]du*\bruch{1}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
> >
> > so habe ich es gemacht... aber diese Brüche & Kehrwerte
> > bringen mich des öfteren durcheinander.
>
Moin, ich war etwas verwirrt, da ich im Formelheft stehen habe:
[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-2x^-^3}=\bruch{1}{x}*\bruch{-1}{2}*x^3
[/mm]
hier wurde ja auch aus der -2 --> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
Das ist das Problem mit den Basics.. daher hoffe ich bei solchen Patzern am Montag auf Folgepunkte ;).. wenn der Rechenweg stimmt, sind die Prüfer oft sehr kulant.
> Ja, man sieht's: Wenn Du [mm]a^{-n}*b=c[/mm] hast (ich verzichte auf
> das
> Aufzählen von Voraussetzungen, die nur dazu dienen, dass
> da sinniges
> steht!), dann ist das das gleiche wie
> [mm]b=\frac{c}{a^{-n}}\,,[/mm]
> und [mm]1/a^m=a^{-m}[/mm] kann man dann benutzen und erhält
> [mm]b=c*a^{-(-n)}=c*a^n[/mm]
>
> (Alternativ: [mm]a^{-n}*b=c[/mm] mit [mm]a^n[/mm] beidseitig multiplizieren
> liefert
> [mm]a^n*a^{-n}*b=a^n*c \gdw a^{n+(-n)}*b=a^n*c \gdw 1*b=a^n*c \gdw b=a^n*c\,,[/mm]
>
> also das gleiche Ergebnis!)
>
> Grob gesagt: Schreibst Du Potenzen aus dem Nenner in den
> Zähler (oder
> umgekehrt) - bei unveränderter Basis, so muss der
> Exponent sein
> Vorzeichen ändern!
>
> Bspe.:
> [mm]\frac{1}{2^3}=2^{-3}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{e^{2/3}}=e^{-2/3}[/mm]
Diese Beispiele kann ich schon nachvollziehen, vorhin hatte ich allerdings eine Aufgabe, ich finde sie leider nicht mehr, dort wurde eine Wurzel mit einer Konstanten multipliziert und anschließen in den Nenner geholt.. dadurch wurde aus der [mm] 2*\wurzel[]{} [/mm] eine [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}\wurzel[]{}} [/mm] oder zumindest ähnliches...
> [mm]\frac{7}{3^{-9}}=7*\frac{1}{3^{-9}}=7*3^9[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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Hallo Tony,
ich sage das nicht zum ersten Mal:
Dir fehlen Grundlagen aus der Mittelstufe.
Als Student solltest Du in der Lage sein, diese nachzuarbeiten. Ohne diese Grundlagen kannst Du den gesamten Rest der Mathematik nicht erschließen. Äquivalenzumformungen, Bruchrechnung etc. muss man einfach beherrschen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > also, zur Erinnerung: Es war vorgeschlagen worden
> > [mm]u=\bruch{2}{x}[/mm]
> >
> > mit
> >
> > [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-\bruch{2}{x^2}[/mm]
> >
> > > Okay...
> > >
> > > [mm]u'=\bruch{du}{dx}=-2x^-^2[/mm] /*dx
> >
> >
> >
> > > [mm]du=-2x^-^2 *dx[/mm] /:-2x^-^2
> >
> >
> >
> > > [mm]\bruch{du}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
> >
> >
> >
> > Es ist doch
> >
> >
> [mm]du/(-2x^{-2})=\frac{du}{-2x^{-2}}=\frac{du}{-2}*x^{+2}=\frac{-1}{2}x^2du\;\;\;(=dx)[/mm]
> >
> > > [mm]du*\bruch{1}{\bruch{-1}{2}x^2}=dx[/mm]
> > >
> > > so habe ich es gemacht... aber diese Brüche & Kehrwerte
> > > bringen mich des öfteren durcheinander.
> >
>
> Moin, ich war etwas verwirrt, da ich im Formelheft stehen
> habe:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{-2x^-^3}=\bruch{1}{x}*\bruch{-1}{2}*x^3[/mm]
>
> hier wurde ja auch aus der -2 --> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
Quatsch: Hier wurde nur [mm] $\frac{1}{-2}$ [/mm] zu [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] bzw. zu
[mm] $\frac{-1}{2}$ [/mm] umgeschrieben.
Außerdem wurde die 2 aus dem Nenner auch nicht in den Zähler geholt!
> Das ist das Problem mit den Basics.. daher hoffe ich bei
> solchen Patzern am Montag auf Folgepunkte ;).. wenn der
> Rechenweg stimmt, sind die Prüfer oft sehr kulant.
Mal ehrlich - Reverend hat's angesprochen, mir war es nicht klar:
Wenn Du elementar(st)e Rechenregeln nicht beherrschst, dann mag
das schön sein, dass die Prüfer kulant sind. Aber ist das für Dich
befriedigend, immer mit Lücken durch's Leben zu laufen? Und das sind
ja Lücken, die man selbst schließen kann. Und wenn sie geschlossen sind,
wirst Du auch einige andere Dinge plötzlich viel klarer sehen und schneller
verstehen...
> > Ja, man sieht's: Wenn Du [mm]a^{-n}*b=c[/mm] hast (ich verzichte auf
> > das
> > Aufzählen von Voraussetzungen, die nur dazu dienen, dass
> > da sinniges
> > steht!), dann ist das das gleiche wie
> > [mm]b=\frac{c}{a^{-n}}\,,[/mm]
> > und [mm]1/a^m=a^{-m}[/mm] kann man dann benutzen und erhält
> > [mm]b=c*a^{-(-n)}=c*a^n[/mm]
> >
> > (Alternativ: [mm]a^{-n}*b=c[/mm] mit [mm]a^n[/mm] beidseitig multiplizieren
> > liefert
> > [mm]a^n*a^{-n}*b=a^n*c \gdw a^{n+(-n)}*b=a^n*c \gdw 1*b=a^n*c \gdw b=a^n*c\,,[/mm]
>
> >
> > also das gleiche Ergebnis!)
> >
> > Grob gesagt: Schreibst Du Potenzen aus dem Nenner in den
> > Zähler (oder
> > umgekehrt) - bei unveränderter Basis, so muss der
> > Exponent sein
> > Vorzeichen ändern!
> >
> > Bspe.:
> > [mm]\frac{1}{2^3}=2^{-3}[/mm]
> >
> > [mm]\frac{1}{e^{2/3}}=e^{-2/3}[/mm]
>
>
> Diese Beispiele kann ich schon nachvollziehen, vorhin hatte
> ich allerdings eine Aufgabe, ich finde sie leider nicht
> mehr, dort wurde eine Wurzel mit einer Konstanten
> multipliziert und anschließen in den Nenner geholt..
> dadurch wurde aus der [mm]2*\wurzel[]{}[/mm] eine
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}\wurzel[]{}}[/mm] oder zumindest
> ähnliches...
Na, Ratespiele mache ich nicht mit. Wenn Du wissen willst, was da passiert
ist, schaue ich's (bzw. wir) uns das gerne an. Aber das setzt voraus, dass
Du Dich entweder komplett an die Aufgabe erinnerst, oder dass Du sie
raussuchst - das kann Dir keiner abnehmen!!
Was ich mir vorstellen könnte, wäre sowas ähnliches, wie [mm] $2/\sqrt{2}$ [/mm] in
[mm] $\sqrt{2}$ [/mm] umzuschreiben:
[mm] $$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}*\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
[/mm]
Das könnte man auch so rechnen
[mm] $$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2^1}{2^{1/2}}=2^1*2^{-1/2}=2^{1-1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Fr 21.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie folgendes bestimmte Integral:
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}[/mm]
> Hallo,
> wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte...
>
> mein Problem, welche Methode zum Integrieren ist
> angebracht??
>
> Da es ein Produkt ist, würde ich partiell ableiten,
> allerdings wäre der exponent von e gut zu substituieren
> ... kann ich beides gleichzeitig anwenden?
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}[/mm]
Hallo,
mal ganz ohne Substitution. Da sowohl beim Ableiten als auch beim Integrieren einer e-Funktion diese Funktion selbst wieder auftaucht, kann man sie nur mal so zum Test ABLEITEN. Die Ableitung von [mm]e^\bruch{2}{x} [/mm] ist [mm]\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x} [/mm],
damit ist [mm]\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x} [/mm] eine Stammfunktion von[mm]e^\bruch{2}{x} [/mm]. Diese Erkenntnis kannst du in einer partiellen Integration sicher gut gebrauchen.
Gruß Abakus
</span>
>
> [mm]u=e^\bruch{2}{x}[/mm]
>
> [mm]v'=\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\(e^\bruch{2}{x}*-x^-^1-\integral_{1}^{3}...*x^-2[/mm] dx
>
> Stammfunktion von [mm]e^\bruch{2}{x}[/mm] weiß ich jetzt leider
> nciht...
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Berechnen Sie folgendes bestimmte Integral:
> >
> > [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}[/mm]
> >
> Hallo,
> > wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte...
> >
> > mein Problem, welche Methode zum Integrieren ist
> > angebracht??
> >
> > Da es ein Produkt ist, würde ich partiell ableiten,
> > allerdings wäre der exponent von e gut zu substituieren
> > ... kann ich beides gleichzeitig anwenden?
> >
> > [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}[/mm]
>
> Hallo,
> mal ganz ohne Substitution. Da sowohl beim Ableiten als
> auch beim Integrieren einer e-Funktion diese Funktion
> selbst wieder auftaucht, kann man sie nur mal so zum Test
> ABLEITEN. Die Ableitung von [mm]e^\bruch{2}{x}[/mm] ist
> [mm]\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x} [/mm],
> damit ist
> [mm]\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x}[/mm] eine Stammfunktion
> von[mm]e^\bruch{2}{x} [/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
meintest Du nicht eher, dass damit $e^{2/x}$ eine Stammfunktion von
$\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x}$ ist?
> Diese Erkenntnis kannst du in einer
> partiellen Integration sicher gut gebrauchen.
Er braucht nun eigentlich nicht mehr partiell integrieren:
$$\integral_{1}^{3}{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}=\left.\;-\;\int\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx\right|_1^3$$
Wenn man Deinen Stammfunktionensatz "korrigiert", muss man nur noch
das Ergebnis davon verwenden (eigentlich gibt's da noch eine
multiplikative Konstante, wenn man's ganz streng und penibel umformt,
aber das traue ich Tony zu, das richtig auszurechnen)!
P.S.
@ Tony:
Was Abakus eigentlich indirekt gemacht hat, ist, Dir zu sagen:
Wenn Du $\text{const}*\int f'(g(x))*g'(x)dx$ suchst, dann kannst Du $\text{const}*f(g(x))\,$ als Stammfunktion für $\text{const}* f'(g(x))*g'(x)$ verwenden. Denn bei Dir steht
oben eigentlich, dass Du sowas wie $\text{const}*\int_a^b g'(x)*f'(g(x))dx$
berechnen sollst - siehst Du das? Was ist $f=f(g)$ und was ist $g=g(x)$?
(Und was ist $\text{const}$)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
hmmmm, also für diese Partielle Integration habe ich diese Formel auf dem Zettel stehen:
[mm] u'v=u*v-\integral \(u*v'
[/mm]
wenn ich jetzt sehe, dass $ [mm] \frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x} [/mm] $ die Ableitung von $ [mm] e^\bruch{2}{x} [/mm] $ ist, würde mir dazu nur einfallen,
jetzt könnte ich den ersten Teil meiner Gleichung so schreiben
[mm] -2\integral{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}
[/mm]
$ [mm] \text{const}\cdot{}\int_a^b g'(x)\cdot{}f'(g(x))dx [/mm] $
dem kann ich leider nicht so ganz folgen :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hmmmm, also für diese Partielle Integration habe ich diese
> Formel auf dem Zettel stehen:
>
> [mm]u'v=u*v-\integral \(u*v'[/mm]
>
> wenn ich jetzt sehe, dass [mm]\frac{-2}{x^2}e^\bruch{2}{x}[/mm] die
> Ableitung von [mm]e^\bruch{2}{x}[/mm] ist, würde mir dazu nur
> einfallen,
>
> jetzt könnte ich den ersten Teil meiner Gleichung so
> schreiben
>
> [mm]-2\integral{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{2}{x} dx}[/mm]
>
>
> [mm]\text{const}\cdot{}\int_a^b g'(x)\cdot{}f'(g(x))dx[/mm]
>
> dem kann ich leider nicht so ganz folgen :S
na, pass auf: Hier benutzt Du keine Produktregel. Wenn Du hinguckst,
siehst Du, dass da eine verschachtelte Funktion steht:
[mm] $$e^{2/x}\,,$$
[/mm]
ist nichts anderes als:
Nimm' [mm] $f\,'(g)=e^g$ [/mm] und [mm] $g(x)=2/x\,,$ [/mm] dann ist [mm] $f\,'(g(x))=e^{g(x)}=e^{2/x}\,.$
[/mm]
(Stör' Dich nicht dran, dass ich die eine Funktion schon [mm] $f\,'$ [/mm] genannt
habe - im Endeffekt kennst Du diese Vorgehensweise aus der p.I. - wir
machen hier aber KEINE part. Integration!!)
Nun willst Du haben: [mm] $\int \frac{1}{x^2}e^{2/x}dx$ [/mm] (im Sinne von: Finde EINE Stammfunktion!!)
Oben ist $g(x)=2/x$ und damit [mm] $g\,'(x)=-2/x^2\,.$ [/mm] Man kann also schreiben
[mm] $$\int \frac{1}{x^2}e^{2/x}dx=-\frac{1}{2}*\int \frac{-2}{x^2}e^{2/x}dx$$
[/mm]
Und ich habe nun gesagt:
Für [mm] $\text{const}*g'(x)*f\,'(g(x))$ [/mm] ist [mm] $\text{const}*f(g(x))$ [/mm] eine
Stammfunktion.
Wir sehen oben: [mm] $\text{const}=-\frac{1}{2}\,,$ [/mm] $g(x)=2/x$ und [mm] $g\,'(x)=-2/x^2$ [/mm] und wir sehen auch [mm] $f\,'(g)=e^g$ [/mm] - nun brauchen wir
aber $f(g)$ - was ist das wohl? (Eigentlich ist eine Stammfunktion von
[mm] $f\,'(g)$ [/mm] ja nur eindeutig bis auf eine additive Konstante (=konstante
Funktion!) - aber diese konstante können wir guten Gewissens auch
einfach Null setzen. Mach' Dir klar, dass bzw. warum das geht!)
P.S.
Was wir hier eigentlich machen, ist schon die Substitutionsregel
anzuwenden, nur quasi ohne "Zwischenrechnungen", sondern nur durch
"hingucken" - und das ist einen Versuch Wert, wenn man (bis auf
multiplikative Konstanten) im Integranden eine Verschachtelung zweier
Funktionen sieht und wenn dann die Ableitung der inneren Funktion halt
noch als Faktor vorkommt. (Bis auf eine mult. Konstante!)
Gruß,
Marcel
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