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| Aufgabe | Integral bestimmen mit hilfe v. substitutionsr.:
[mm] \integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx [/mm] |
mein rechnenweg:
substitution [mm] y=g(x)=x^{3}+1
[/mm]
dann ist [mm] \bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}dx=dy
[/mm]
folglich: [mm] \integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{y})...
[/mm]
hier komm ich nicht weiter bzw. ist überhaupt das vorhergehende richtig?
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> Integral bestimmen mit hilfe v. substitutionsr.:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx[/mm]
> mein rechnenweg:
>
> substitution [mm]y=g(x)=x^{3}+1[/mm]
>
> dann ist [mm]\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}dx=dy[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
korrekt notiert wäre das:
[mm] $\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}$
[/mm]
$\ dy\ =\ [mm] g'(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] 3x^2\,dx$
[/mm]
$\ dx\ =\ [mm] \bruch{1}{3\,x^2}\,dy$
[/mm]
> folglich:
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{y})...[/mm]
>
> hier komm ich nicht weiter bzw. ist überhaupt das
> vorhergehende richtig?
[mm] $\integral_{0}^{1}\left(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}}\right)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \red{\integral_0 ^1}{\left(\bruch{x^{2}}{y}\right)*\bruch{1}{3\,x^2}\ dy}\ [/mm] =\ .....$
siehe die folgende Mitteilung von fred97 !
(das [mm] x^2 [/mm] kürzt sich jetzt heraus)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Integral bestimmen mit hilfe v. substitutionsr.:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx[/mm]
> > mein rechnenweg:
> >
> > substitution [mm]y=g(x)=x^{3}+1[/mm]
> >
> > dann ist [mm]\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}dx=dy[/mm]
>
> korrekt notiert wäre das:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}[/mm]
>
> [mm]\ dy\ =\ g'(x)\,dx\ =\ 3x^2\,dx[/mm]
>
> [mm]\ dx\ =\ \bruch{1}{3\,x^2}\,dy[/mm]
>
>
> > folglich:
> >
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{y})...[/mm]
> >
> > hier komm ich nicht weiter bzw. ist überhaupt das
> > vorhergehende richtig?
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\left(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}}\right)\,dx\ =\ \integral_{0}^{1}\left(\bruch{x^{2}}{y}\right)*\bruch{1}{3\,x^2}\ dy\ =\ .....[/mm]
>
> (das [mm]x^2[/mm] kürzt sich jetzt heraus)
Und nicht vergessen: die Integrationsgrenzen ändern sich: [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{y}dy}
[/mm]
FRED
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> LG Al-Chw.
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wieso sollen sich die integrationsgrenzen ändern?
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Hallo monstre123,
> wieso sollen sich die integrationsgrenzen ändern?
Na, die "Original"-Grenzen in x sind doch $x=0$ und $x=1$
Mit der Substitution [mm] $y=x^3+1$ [/mm] sind die neuen Grenzen in y also [mm] $y=0^3+1=1$ [/mm] und [mm] $y=1^3+1=2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> Und nicht vergessen: die Integrationsgrenzen ändern sich:
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{y}dy}[/mm]
>
> FRED
sorry, da habe ich einfach blindlings kopiert und gar nicht
beachtet, dass es sich um bestimmte Integrale handelte
LG Al
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 12.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Integral bestimmen mit hilfe v. substitutionsr.:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx[/mm]
> mein rechnenweg:
>
> substitution [mm]y=g(x)=x^{3}+1[/mm]
>
> dann ist [mm]\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}dx=dy[/mm]
>
> folglich:
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{y})...[/mm]
>
> hier komm ich nicht weiter bzw. ist überhaupt das
> vorhergehende richtig?
Hallo,
du musst nicht substituieren. Der Zähler ist (abgesehen vom fehlenden Faktor 3) fast die Ableitung des Nenners.
Forme einfach um:
[mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\bruch13\integral_{0}^{1}(\bruch{3x^{2}}{1+x^{3}})[/mm]
[mm] =\bruch13[ln (1+x^3) ]_0^1
[/mm]
Gruß Abakus
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> > Integral bestimmen mit hilfe v. substitutionsr.:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx[/mm]
> > mein rechnenweg:
> >
> > substitution [mm]y=g(x)=x^{3}+1[/mm]
> >
> > dann ist [mm]\bruch{dy}{dx}=g'(x)=3x^{2}dx=dy[/mm]
> >
> > folglich:
> >
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{y})...[/mm]
> >
> > hier komm ich nicht weiter bzw. ist überhaupt das
> > vorhergehende richtig?
> Hallo,
> du musst nicht substituieren. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Der Zähler ist (abgesehen
> vom fehlenden Faktor 3) fast die Ableitung des Nenners.
> Forme einfach um:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}(\bruch{x^{2}}{1+x^{3}})dx=\bruch13\integral_{0}^{1}(\bruch{3x^{2}}{1+x^{3}})[/mm]
> [mm]=\bruch13[ln (1+x^3) ]_0^1[/mm]
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
das ist natürlich Substitution, nur ohne sie
ausdrücklich als solche zu benennen !
Gruß Al
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