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| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{cosx} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{logx}{x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{tan^{2}x dx} [/mm] |
Guten Tag,
ich soll diese Stammfunktionen bestimmen, aber komme nicht weiter.
In der Vorlesung hatten Substitution und Partialbruchzerlegung aber ich sehe nicht, wie man das hier anwenden kann.
Zur ersten Aufgabe kenne ich zwar die Lösung: [mm] ln|tan(\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4})| [/mm] ,nur wie kommt man darauf???
Wär schön, wenn mir jemand helfen könnte
mfg
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Hallo Hans!
Ich nehme mal an, dass hier mit [mm] $\log(x)$ [/mm] der natürliche Logarithmus zur Basis $e_$ mit [mm] $\ln(x) [/mm] \ := \ [mm] \log_e(x)$ [/mm] gemeint ist?
Dann substituiere doch einfach mal $z \ := \ [mm] \log(x)$
[/mm]
Beim 3. Integral hilft vielleicht folgender Hinweis: [mm] $\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 1+\tan^2(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Do 03.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Hans!
Beim 3. Integral kommt man auch mit folgender Substitution zum Ziel:
$u \ := \ [mm] \tan(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \tan^2(x)+1 [/mm] \ = \ [mm] u^2+1$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{1}{1+u^2} [/mm] \ du$
Gruß vom
Roadrunner
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hallo und danke für die Antwort.
Dann hätte ich also bei 3)
[mm] \bruch{1}{\tan^{2}x+1}*\integral_{}^{}{u² du} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{\tan^{2}x+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}u^{3} [/mm]
und dann noch tanx für u einsetzen
Kommt das hin?
mfg
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Hallo Hans!
Du darfst den Term [mm] $\bruch{1}{1+\tan^2(x)}$ [/mm] nicht vor das Integral ziehen, da dies kein konstanter Faktor ist.
Nach der Substitution erhalten wir als Integral: $... \ = \ [mm] \integral{\bruch{u^2}{1+u^2} \ du}$
[/mm]
Diesen Bruch kann man nun umformen zu:
[mm] $\bruch{u^2}{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+u^2-1}{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+u^2}{1+u^2}+\bruch{-1}{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{1+u^2}$
[/mm]
Kannst Du nun hiervon die Stammfunktion bilden?
Gruß vom
Roadrunner
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die stammfunktion zu [mm] 1-\bruch{1}{1+u^{2}} [/mm] ist doch x - arctan(u).
Und wenn ich dann wieder einsetze kommt x - arctan(tan(x)) = x - x = 0 raus?
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Hallo Hans!
> die stammfunktion zu [mm]1-\bruch{1}{1+u^{2}}[/mm] ist doch x - arctan(u).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da wir hier nach $u_$ integrieren, lautet die Stammfunktion: [mm] $\red{u}-\arctan(u)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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natürlich, also tan(x) - x.
Und zu der ersten Aufgabe:
Wenn ich u = ln(x) setze, erhalte ich u' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \gdw [/mm] dx = x*du.
Also [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*u*x du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{u du} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2} u^{2} [/mm] ?
mfg
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Hallo Hans!
> Also [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*u*x du}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{u du}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} u^{2}[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun wieder resubstituieren mit $u \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] ...
Gruß vom
Roadrunner
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vielen dank! Ich glaub jetzt hab ichs verstanden 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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