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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 10.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Hi, habe jene Angaben:
Die Aufgabe dazu: finden Sie eine Funktionsgleichung. :
Funktionsbeschreibung:
-Die Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse
-Die Funktion ist überall größer als Null
-Die x-Achse ist Asymptote für beliebig anwachsende x.
-Die Funktion schneidet die y-Achse bei +1. Dort liegt ein Tiefpunkt vor.
-Bei (1/3) hat die Funktion einen Hochpunkt
Es gibt keine weiteren Extremstellen für x>0
also ich habe da den Ansatz: [mm] \bruch{1}{ax^4-bx^2+1}
[/mm]
Nun muss ich noch werte für a und b finden.
Ich habe hierzu die Bedingungen:
f(1)=3
xgegen +-unendlich. von f(x) oben gegen 0. Also a>0 b>0
f'(1)=0
f'(x)= [mm] \bruch{ableitung vom Nenner}{(ax^4-bx^2+1)^2}
[/mm]
f'(0)=0
Was könnten hier zum Beispiel a und b sein, damit all diese Bedingungen erfüllt werden und wie kommt man zu dem Ansatz, den ich oben angegeben habe.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Do 10.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo drehspin!
Warum verwendest Du nicht den Ansatz $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{a*x^4 \ \red{+} \ b*x^2+1}$ [/mm] ? (Aber im Grunde spielt das auch keine Rolle ...)
Und wie lautet denn nun die korrekte (sprich: vollständige) Ableitung $f'(x)_$ ?
Dann kannst Du auch $f'(1) \ = \ ... \ = \ 0$ einsetzen und erhältst die erste Bestimmungsgleichung.
Die nächste und 2. Bestimmungsgleichung erhältst Du dann aus $f(1) \ = \ 3 \ = \ [mm] \bruch{1}{a*1^4+b*1^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a+b+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 10.05.2007 | | Autor: | drehspin |
> Und wie lautet denn nun die korrekte (sprich: vollständige)
> Ableitung [mm]f'(x)_[/mm] ?
>
> Dann kannst Du auch [mm]f'(1) \ = \ ... \ = \ 0[/mm] einsetzen und
> erhältst die erste Bestimmungsgleichung.
hi loddar. Das ist unter anderem ein problem. Wie soll ich auf die ableitung kommen?
Ist sie dann nicht einfach: f'(x)= - [mm] \bruch{4}{a} x^{-5}+ \bruch{2}{b} x^{-3}?
[/mm]
Dann könnten aund b weiterhin vieles sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 10.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo drehspin!
Deine Ableitung ist absolut falsch! Oben hast Du es doch richtig erkannt, dass es heißen muss (gemäß  Kettenregel):
$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{\text{Ableitung des Nenners}}{\left(a*x^4+b*x^2+1\right)^2} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 10.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Okay stimmt. also habe ich : f'(x)= [mm] \bruch{4ax^3-2bx}{(ax^4-bx^2+1)^2}
[/mm]
f'(1)= [mm] \bruch{4a-2b}{(a-b+1)^2} [/mm] =0
Stimmt das so? Und was muss ich hiermit machen, a und b sind noch undefiniert. Kann ich mir dann einfach die erste und zweite bestimmungsgleichung ansehen und mir dann für a uhnd b zahlen aussuchen, die für beide gleichungen zutreffen? Es gibt ja keine eindeutige Lösung!
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Hi, drehspin,
> Okay stimmt. also habe ich : f'(x)=
> [mm]\bruch{4ax^3-2bx}{(ax^4-bx^2+1)^2}[/mm]
> f'(1)= [mm]\bruch{4a-2b}{(a-b+1)^2}[/mm] =0
Die Quotientenregel lautet aber: [mm] f'(x)=\bruch{u'*v-v'*u}{u^{2}}
[/mm]
Daher muss bei Deiner Ableitung noch ein Minuszeichen davor:
f'(x)= [mm] -\bruch{4ax^3-2bx}{(ax^4-bx^2+1)^2}
[/mm]
> Stimmt das so? Und was muss ich hiermit machen, a und b
> sind noch undefiniert. Kann ich mir dann einfach die erste
> und zweite bestimmungsgleichung ansehen und mir dann für a
> und b zahlen aussuchen, die für beide gleichungen
> zutreffen? Es gibt ja keine eindeutige Lösung!
Doch, denn Du hast 2 Gleichungen für 2 Unbekannte: a und b.
Das ist eindeutig lösbar. Lös' halt z.B. die Gleichung, die sich aus f'(1)=0 ergibt, z.B. nach b auf (b = 2a) und setz das in die andere Gleichung ein. Dann kannst Du erst a und dann b ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 10.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Alles klar, super danke für die Antwort! Habs raus! Ich wundere mich nur püber das minuszeichen! Ich habe es nach der kettenregel abgeleitet! Also: u(x)= 1/x
und v(x)= [mm] ax^4-bx^2+1
[/mm]
f'(x)= u'(v(x))* v'(x)
also: [mm] \bruch{1}{x^2}* 4ax^3-2bx
[/mm]
Also würde da dann meine ableitung, ohne minus rauskommen?!!?
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Hallo drehspin,
ich meine eine etwas einfachere Art zu haben, die Aufgabe zu lösen. Da die Funktion 3 Extremwerte hat, muss sie 4. Grades sein; man kan ansetzen:
[mm]f_{(x)} = \bruch{1}{a*x^{4}+b*x^{3}+c*x^{2}+d*x+1} = \bruch{1}{g_{(x)}}[/mm]
Das Polynom [mm] g_{(x)} [/mm] unter dem Bruchstrich muss nun einen Hochpunkt bei x = 0 haben und zwei Tiefpunkte bei x = 1 und x = -1;
[mm] g_{(0)} [/mm] = 1 und [mm] g_{(1)} [/mm] = [mm] g_{(-1)} [/mm] = 1/3.
Daher
[mm]g_{(x)}' = 4*a*x^{3} + 3*b*x^{2}+ 2*c*x+ d [/mm] und
[mm]g_{(x)}' = 4*a*x*(x-1)*(x+1) = 4*a*x^3 - 4*a*x[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich ergibt b = 0 und d = 0 und c = -2*a.
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]g_{(x)} = a*x^{4} - 2*a*x^{2} + 1[/mm]
Einsetzen eines Tiefpunktes von [mm] g_{(x)} [/mm] :
[mm] g_{(1)} [/mm] = a - 2*a + 1 = 1/3 [mm] \gdw [/mm] a = 2/3
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]g_{(x)} = \bruch{2}{3}*x^{4} - \bruch{4}{3}*x^{2} + 1[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f_{(x)} = \bruch{1}{\bruch{2}{3}*x^{4}-\bruch{4}{3}*x^{2}+1}[/mm]
P.S. In Anlehnung an einen Lösungsvorschlag von Mic Muc neulich, bei einer ähnlich gelagerten Aufgabe von dir, wäre natürlich auch eine e-Funktion ein Kandidat, z. B.:
[mm] f_{(x)} [/mm] = [mm] exp(-ln(3)*x^{4} [/mm] + [mm] 2*ln(3)*x^{2})
[/mm]
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Gun Morgen drehspin!
Auch bei der Kettenregel kommt selbstverständlich das Minuszeichen durch den Exponenten [mm] $(...)^{\red{-1}}$ [/mm] raus:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{a*x^4+b*x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(a*x^4+b*x^2+1\right)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f'(x) \ = \ [mm] (\red{-1})*\left(a*x^4+b*x^2+1\right)^{-2}*\left(4a*x^3+2b*x\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{4a*x^3+2b*x}{\left(a*x^4+b*x^2+1\right)^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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