summe von (-1)^k * 3^k < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Sa 26.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Vervollständigen Sie die Formel [mm] 1-3+3^2-3^3+...3^{2n}=...
[/mm]
(mit Beweis) |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich hab das mal umgeformt zu :
[mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k
[/mm]
dann hab ich versucht für die ersten 2n auszuprobieren:
2n=0 -> [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k [/mm] = 1
2n=2 -> [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k [/mm] = 7
2n=4 -> [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k [/mm] = 61
2n=6 -> [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k [/mm] = 547
jetzt fehlt mir aber der magische moment bislang um die ergebnisse zu einer formel umzudeuten :)
vielleicht kann mir da jemand auf die sprünge helfen ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Manuel!
Denk doch mal an die geometrische Reihe mit: [mm]\summe_{k=0}^{j}q^k \ = \ \bruch{1-q^{j+1}}{1-q}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 So 27.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
> Hallo Manuel!
>
>
> Denk doch mal an die geometrische Reihe mit:
> [mm]\summe_{k=0}^{j}q^k \ = \ \bruch{1-q^{j+1}}{1-q}[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
Hey Danke Loddar!
ok
also wenn das so ist, dann zerleg ich meine summe in 2 summen...
[mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{2n}(-1)^k [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{2n}3^k
[/mm]
mit der geometrischen Formel komm ich dann auf
[mm] \frac{1-(-1)^{2n+1}}{2}*\frac{1-3^{2n+1}}{-2}
[/mm]
was leider nicht stimmt ...
wenn ich das * allerdings durch ein + ersetze und das ganze durch 2 dividiere stimmt die formel
warum kann ich mir allerdings nicht erklären
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tauf mal 2n um in m
und dann von neuem!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 So 27.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
ähm, versteh nicht... das ändert nichts bei mir
[mm]\summe_{k=0}^{m}(-1)^k*3^k[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{m}(-1)^k[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{m}3^k[/mm]
mit der geometrischen Formel komm ich dann auf
[mm]\frac{1-(-1)^{m+1}}{2}*\frac{1-3^{m+1}}{-2}[/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{m}(-1)^k*3^k[/mm]
für z.B. m=2
[mm]\summe_{k=0}^{m}(-1)^k*3^k[/mm] = 7
[mm]\frac{1-(-1)^{m+1}}{2}*\frac{1-3^{m+1}}{-2}[/mm] = 13
allerdings wäre
[mm]\frac{\frac{1-(-1)^{m+1}}{2}+\frac{1-3^{m+1}}{-2}}{2}[/mm]
= [mm]\frac{1-(-1)^{m+1}}{4}-\frac{1-3^{m+1}}{4}}[/mm] = 7
aber warum?
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> ähm, versteh nicht... das ändert nichts bei mir
>
> [mm]\summe_{k=0}^{m}(-1)^k*3^k[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{m}(-1)^k[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{m}3^k[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das geht doch so nicht ...
du hast doch hier einfach die Summe [mm]\summe_{k=0}^{m}(-3)^k[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 27.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
> > ähm, versteh nicht... das ändert nichts bei mir
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{m}(-1)^k*3^k[/mm]
> >
> > [mm]=\summe_{k=0}^{m}(-1)^k[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{m}3^k[/mm]
>
> das geht doch so nicht ...
>
> du hast doch hier einfach die Summe
> [mm]\summe_{k=0}^{m}(-3)^k[/mm]
huch! das hab ich ja komplett übersehen :)
[mm]\summe_{k=0}^{m}(-3)^k[/mm]
na dann ist es einfach:
[mm]\summe_{k=0}^{m}(-3)^k[/mm] = [mm] \frac{1-(-3)^m}{4}
[/mm]
dankeschön :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Manuel!
> >
> >
> > Denk doch mal an die geometrische Reihe mit:
> > [mm]\summe_{k=0}^{j}q^k \ = \ \bruch{1-q^{j+1}}{1-q}[/mm] .
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
>
>
> Hey Danke Loddar!
>
> ok
>
> also wenn das so ist, dann zerleg ich meine summe in 2
> summen...
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2n}(-1)^k*3^k[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{2n}(-1)^k[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{2n}3^k[/mm]
>
> mit der geometrischen Formel komm ich dann auf
>
> [mm]\frac{1-(-1)^{2n+1}}{2}*\frac{1-3^{2n+1}}{-2}[/mm]
>
> was leider nicht stimmt ...
>
> wenn ich das * allerdings durch ein + ersetze und das ganze
> durch 2 dividiere stimmt die formel
>
> warum kann ich mir allerdings nicht erklären
>
Ich schon...
Denn manchmal weiß man Sachen, die gar nicht stimmen.
Bei Dir ist
xy+uv=(x+u)(y+v).
Stimmt den das für alle x,y,u,v [mm] \in \IR [/mm] ?
FRED
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