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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 31.01.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
sitze gerade über einem Satz, der da lautet:
Sei ein [mm](\Omega,A)[/mm] Messraum und [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge messbarer Funktionen [mm]f_n:\Omega\to\IR[/mm], [mm]n\in\IN[/mm]. Dann ist [mm] \sup_{n\in\IN }f_n[/mm] messbar.
Im Beweis taucht dann folgende Gleichheit auf:
[mm]\left \{ \omega: \sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left \{\omega: f_n(\omega)\le{x} \right \} [/mm].
Und um diese Gleichheit geht es. Wieso ist das Supremum gleich dem Durchschnitt?
Danke.
Gruß
barsch
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Hiho,
mach dir mal klar, dass für eine Folge [mm] a_n [/mm] generell gilt:
[mm] $\sup_{n\in\IN} a_n \le [/mm] a [mm] \quad\gdw\quad \forall\,n\in\IN: a_n \le [/mm] a$
oder in logischer Schreibweise:
[mm] $\sup_{n\in\IN} a_n \le [/mm] a [mm] \quad\gdw\quad \left(a_1 \le a \wedge a_2 \le a \wedge \ldots\right)$
[/mm]
Ist dir nun klar, warum aus dem Supremum ein Durchschnitt wird?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 31.01.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank für die Antwort.
> Hiho,
>
> mach dir mal klar, dass für eine Folge [mm]a_n[/mm] generell gilt:
>
> [mm]\sup_{n\in\IN} a_n \le a \quad\gdw\quad \forall\,n\in\IN: a_n \le a[/mm]
>
> oder in logischer Schreibweise:
>
> [mm]\sup_{n\in\IN} a_n \le a \quad\gdw\quad \left(a_1 \le a \wedge a_2 \le a \wedge \ldots\right)[/mm]
okay, das ist einleuchtend. Wenn ich das jetzt übertrage:
[mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \} \ \ \gdw \ \ \left \{ \omega: \ \ f_1(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ f_2(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ \ldots \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
Aber so richtig überzeugt mich das noch nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Ist dir nun klar, warum aus dem Supremum ein Durchschnitt
> wird?
Ich denke, nein. Ich "sehe" es nicht.
> MFG,
> Gono.
Gruß
barsch
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Hiho,
> okay, das ist einleuchtend. Wenn ich das jetzt übertrage:
>
> [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \} \ \ \gdw \ \ \left \{ \omega: \ \ f_1(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ f_2(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ \ldots \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
Genau.
> Aber so richtig überzeugt mich das noch nicht.
Was davon? Das erste Gleichheitszeichen, oder das zweite?
Zum Zweiten bleibt noch zu sagen, dass du dir folgendes klarmachen musst:
[mm] $\{\omega: A_1(\omega) \wedge A_2(\omega)\} [/mm] = [mm] $\{\omega: A_1(\omega) \} \cap \{\omega: A_2(\omega)\}$
[/mm]
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Mi 01.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Gono,
schön, dass du noch nicht kapituliert hast ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Hiho,
>
>
> > okay, das ist einleuchtend. Wenn ich das jetzt übertrage:
> >
> > [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \} \ \ \gdw \ \ \left \{ \omega: \ \ f_1(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ f_2(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ \ldots \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
>
> Genau.
>
> > Aber so richtig überzeugt mich das noch nicht.
>
> Was davon? Das erste Gleichheitszeichen, oder das zweite?
> Zum Zweiten bleibt noch zu sagen, dass du dir folgendes
> klarmachen musst:
>
> [mm]\{\omega: A_1(\omega) \wedge A_2(\omega)\} =\{\omega: A_1(\omega) \} \cap \{\omega: A_2(\omega)\}[/mm]
Das ist klar, ja.
Vielleicht weiß ich auch einfach nicht, wie die Menge [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}[/mm] aussieht.
In Worten: Die Menge aller [mm]\omega[/mm], für die gilt: ...? Vielleicht kannst du das auflösen?
Jetzt lese ich in einer anderen Quelle:
[mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega) \ > \ x \right \}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left \{ \omega: \ f_n(\omega) \ > \ x \right \} [/mm]
Hier ist nun ">". Wie argumentiert man hier?
[mm]\left \{ \omega\in\Omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega) \ > \ x \right \}=\Omega \ \setminus\ \left \{ \omega\in\Omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}=\Omega \ \setminus\ \bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \Omega \setminus \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}= \bigcup_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega) \ > \ x \right \}[/mm]
So würde ich dann vorgehen.
>
> MFG;
> Gono.
Danke und Gruß,
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Hallo Gono,
>
> schön, dass du noch nicht kapituliert hast
>
>
> > Hiho,
> >
> >
> > > okay, das ist einleuchtend. Wenn ich das jetzt übertrage:
> > >
> > > [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \} \ \ \gdw \ \ \left \{ \omega: \ \ f_1(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ f_2(\omega)\le{x} \ \ \wedge \ \ \ldots \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
>
> >
> > Genau.
> >
> > > Aber so richtig überzeugt mich das noch nicht.
> >
> > Was davon? Das erste Gleichheitszeichen, oder das zweite?
> > Zum Zweiten bleibt noch zu sagen, dass du dir folgendes
> > klarmachen musst:
> >
> > [mm]\{\omega: A_1(\omega) \wedge A_2(\omega)\} =\{\omega: A_1(\omega) \} \cap \{\omega: A_2(\omega)\}[/mm]
>
>
> Das ist klar, ja.
>
> Vielleicht weiß ich auch einfach nicht, wie die Menge
> [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
> aussieht.
> In Worten: Die Menge aller [mm]\omega[/mm], für die gilt: ...?
das ist die Menge aller [mm] $\omega$, [/mm] so dass [mm] $x\,$ [/mm] die kleinste obere Schranke für [mm] $\{f_n(x): n \in \IN\}$ [/mm] ist. D.h. die [mm] $\omega$ [/mm] aus der obigen Menge sind dadurch charakterisiert, dass [mm] $f_n(\omega) \le [/mm] x$ für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und es gibt eine Folge [mm] $(n_j)_{j \in \IN} \in \IN^{\IN}$ [/mm] (also eine Folge natürlicher Zahlen) so, dass [mm] $f_{n_j}(\omega) \to [/mm] x$ (bei $j [mm] \to \infty$) [/mm] gilt.
(Erinnere Dich: Für eine nach oben beschränkte Menge $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gilt [mm] $S=\sup [/mm] A$ genau dann, wenn für alle $a [mm] \in [/mm] A$ auch $a [mm] \le [/mm] S$ gilt (d.h. [mm] $S\,$ [/mm] ist eine obere Schranke für [mm] $A\,$) [/mm] und wenn es eine Folge [mm] $(a_{k})_{k \in \IN} \in A^{\IN}$ [/mm] gibt mit [mm] $a_k \to [/mm] S$ bei $k [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Und oben bedeutet [mm] $\sup_{n \in \IN}f_n(x)$ [/mm] per Definitionem auch nichts anderes als [mm] $\sup\{f_n(x): n \in \IN\}\,,$ [/mm] und eine Folge [mm] $(a_k)_{k \in \IN} \in \{f_n(x): n \in \IN\}^{\IN}$ [/mm] ist nichts anderes als das, was ich oben geschrieben habe: [mm] $(a_k)_{k \in \IN}\equiv(f_{n_k}(x))_{k \in \IN}$ [/mm] mit gewissen [mm] $n_k \in \IN$.)
[/mm]
> Vielleicht kannst du das auflösen?
>
> Jetzt lese ich in einer anderen Quelle:
>
> [mm]\left \{ \omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega) \ > \ x \right \}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left \{ \omega: \ f_n(\omega) \ > \ x \right \}[/mm]
>
> Hier ist nun ">". Wie argumentiert man hier?
>
> [mm]\left \{ \omega\in\Omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega) \ > \ x \right \}=\Omega \ \setminus\ \left \{ \omega\in\Omega:\sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}=\Omega \ \setminus\ \bigcap_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \Omega \setminus \left \{ \omega: f_i(\omega)\le{x} \right \}= \bigcup_{i=1}^{\infty} \left \{ \omega: f_i(\omega) \ > \ x \right \}[/mm]
>
> So würde ich dann vorgehen.
Mit de Morgan geht das auch, wenn Du die andere Gleichheit schon bewiesen hast. Nach wie vor: Wenn man gar keine Ahnung haben sollte: Für Mengen [mm] $A,\,B$ [/mm] gilt:
$$A=B [mm] \gdw [/mm] [(A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \subseteq A)]\,.$$
[/mm]
Im schlimmsten Fall zieht man halt nochmal die Definition heran, und versucht, die beiden Teilmengenbeziehungen nachzuweisen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Barsch,
so nebenbei:
>
> Hallo,
>
> sitze gerade über einem Satz, der da lautet:
>
> Sei ein [mm](\Omega,A)[/mm] Messraum und [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge
> messbarer Funktionen [mm]f_n:\Omega\to\IR[/mm], [mm]n\in\IN[/mm]. Dann ist
> [mm]\sup_{n\in\IN }f_n[/mm] messbar.
>
> Im Beweis taucht dann folgende Gleichheit auf:
>
> [mm]\left \{ \omega: \sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left \{\omega: f_n(\omega)\le{x} \right \} [/mm].
ich würde es hier über die übliche Definition der Mengengleichheit nachweisen: Zwei Mengen [mm] $A\,, [/mm] B$ sind gleich - im Zeichen [mm] $A=B\,$ [/mm] - genau dann, wenn sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] B$ als auch $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt.
Mit [mm] $A:=\left \{ \omega: \sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}$ [/mm] und [mm] $B:=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left \{\omega: f_n(\omega)\le{x} \right \} [/mm] $ ist die Folgerung
[mm] $$\omega \in [/mm] A [mm] \Rightarrow f_n(\omega) \le [/mm] x [mm] \text{ für alle }n$$
[/mm]
wegen [mm] $f_m(\omega) \le \sup_{n \in \IN}\{f_n(\omega)\}$ [/mm] (für alle $m [mm] \in \IN$) [/mm] schonmal trivial, also gilt $A [mm] \subseteq B\,.$ [/mm] Etc. pp..
P.S.:
Ich weise extra deswegen nochmal drauf hin, weil einfach viele wirklich nur sagen: "Die Gleichheit verstehe ich nicht, ich kann mir eine (der beiden) Mengen nicht vorstellen." Das ist doch gar nicht so wichtig, ob man das kann. Wichtig ist erstmal, dass man $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und $B [mm] \subseteq [/mm] A$ nachzuweisen versucht. Das hilft dann auch "zu verstehen, wie man sich die Mengen vorzustellen hat."
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 01.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Marcel,
ich denke, ich habe es jetzt verstanden, danke.
> Hallo Barsch,
>
> so nebenbei:
> >
> > Hallo,
> >
> > sitze gerade über einem Satz, der da lautet:
> >
> > Sei ein [mm](\Omega,A)[/mm] Messraum und [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge
> > messbarer Funktionen [mm]f_n:\Omega\to\IR[/mm], [mm]n\in\IN[/mm]. Dann ist
> > [mm]\sup_{n\in\IN }f_n[/mm] messbar.
> >
> > Im Beweis taucht dann folgende Gleichheit auf:
> >
> > [mm]\left \{ \omega: \sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left \{\omega: f_n(\omega)\le{x} \right \} [/mm].
>
> ich würde es hier über die übliche Definition der
> Mengengleichheit nachweisen: Zwei Mengen [mm]A\,, B[/mm] sind gleich
> - im Zeichen [mm]A=B\,[/mm] - genau dann, wenn sowohl [mm]A \subseteq B[/mm]
> als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gilt.
>
> Mit [mm]A:=\left \{ \omega: \sup_{n\in\IN }f_n(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
> und [mm]B:=\bigcap_{i=1}^{\infty}\left \{\omega: f_n(\omega)\le{x} \right \}[/mm]
> ist die Folgerung
> [mm]\omega \in A \Rightarrow f_n(\omega) \le x \text{ für alle }n[/mm]
>
> wegen [mm]f_m(\omega) \le \sup_{n \in \IN}\{f_n(\omega)\}[/mm] (für
> alle [mm]m \in \IN[/mm]) schonmal trivial, also gilt [mm]A \subseteq B\,.[/mm]
> Etc. pp..
>
> P.S.:
> Ich weise extra deswegen nochmal drauf hin, weil einfach
> viele wirklich nur sagen: "Die Gleichheit verstehe ich
> nicht, ich kann mir eine (der beiden) Mengen nicht
> vorstellen." Das ist doch gar nicht so wichtig, ob man das
> kann. Wichtig ist erstmal, dass man [mm]A \subseteq B[/mm] und [mm]B \subseteq A[/mm]
> nachzuweisen versucht. Das hilft dann auch "zu verstehen,
> wie man sich die Mengen vorzustellen hat."
Ich weiß, dass das meistens nicht gut geht. Aber die Verlockung, sich diese Menge zu "veranschaulichen", ist doch (zu) groß.
>
> Gruß,
> Marcel
Gruß
barsch
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