surjektiv und injektiv zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Die Hintereinanderschaltung [mm]g \circ f: A \to A[/mm] der beiden Abbildungen [mm]f: A \to B[/mm] und [mm]g: b \to A[/mm] sei die Identität. Man zeige:
g ist surjektiv und f ist injektiv |
Hallo,
ich habe schon eine Idee für den Beweis, würde mich aber gerne absichern ob ich es so machen kann:
Ich gehe bei meinem Beweis wie folgt vor:
1) Ich zeige dass f injektiv ist
2) Ich zeige einen Widerspruch bei der Annahme dass f surjektiv ist
3) Ich zeige dass g surjektiv ist
4) Ich zeige einen Widerspruch bei der Annahme dass g injektiv ist
Bin ich fertig wenn ich diese Punkte gezeigt habe? Annehmen dass eine Abbildung bijektiv ist kann ich mir ja sparen, da sie dafür injektiv + surjektiv sein muss und ich eins von beiden ja schon widerlegt habe oder?
Beweis:
1)
injektiv: [mm]f(a_{1})=f(a_{2}) \Rightarrow a_{1}=a_{2}[/mm]
anwenden von g auf beiden Seiten ergibt nach Definition: [mm]\underbrace{g(f(a_{1}))}_{=a_{1}}=\underbrace{g(f(a_{2}))}_{=a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}[/mm]
2)
Annahme f ist surjektiv:
Zu jedem b [mm] \in [/mm] B existiert mindestens ein a [mm] \in [/mm] A, so dass [mm]f(a)=b[/mm]
Sei [mm] f(a_{1})=b [/mm] und [mm] f(a_{2})=b [/mm] mit [mm] a_{1}\not=a_{2}
[/mm]
Anwenden von g:
[mm] g(f(a_{1}))=g(b)
[/mm]
[mm] g(f(a_{2}))=g(b)
[/mm]
[mm] \underbrace{\Rightarrow}_{g \circ f = id}
[/mm]
[mm] a_{1}=g(b)
[/mm]
[mm] a_{2}=g(b)
[/mm]
Widerspruch, da Abbildungen eindeutig sein müssen.
3)
Zu jedem a [mm] \in [/mm] A existiert mindestens ein b [mm] \in [/mm] B, so dass [mm]g(b)=a[/mm]
Sei f(a):=b
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(a)=a
g ist also surjektiv, da g [mm] \circ [/mm] f = id erfüllt ist
4)
Annahme: g ist injektiv: [mm] g(b_{1})=g(b_{2}) \Rightarrow b_{1}=b_{2}
[/mm]
Sei [mm] f(a_{1})=b_{1} [/mm] und [mm] f(a_{2})=b_{2} [/mm] mit [mm] a_{1}\not=a_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(f(a_{1}))=g(f(a_{2})) \Rightarrow \underbrace{f(a_{1})=f(a_{2})}_{Widerspruch zur Injektivität von f, da ich vorrausgesetzt habe dass a_{1}\not=a_{2}}
[/mm]
Ich bin mir besonders bei 3) und 4) unsicher
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Sa 23.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Nur zu deiner Beweisidee:
> Man zeige:
> g ist surjektiv und f ist injektiv
>
...
> 1) Ich zeige dass f injektiv ist
...
> 4) Ich zeige einen Widerspruch bei der Annahme dass g
> injektiv ist
>
...
> Beweis:
> 1)
> injektiv: [mm]f(a_{1})=f(a_{2}) \Rightarrow a_{1}=a_{2}[/mm]
>
> anwenden von g auf beiden Seiten ergibt nach Definition:
> [mm]\underbrace{g(f(a_{1}))}_{=a_{1}}=\underbrace{g(f(a_{2}))}_{=a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}[/mm]
Hier setzt du indirekt voraus, dass g injektiv ist.
muss mich korrigieren. Diese Richtung folgt direkt, da g eine Funktion ist. Meine Aussage stimmt nicht. Jedoch ist die Reihenfolge im Beweis dennoch falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Warum setze ich vorraus dass g injektiv ist? Das würde ja gar keinen Sinn machen, da laut Aufgabenstellung [mm]g \circ f = id[/mm] ist und dabei g surjektiv und f injektiv sein soll. ich habe ja nichts anderes gemacht als g anzuwenden, um [mm]g \circ f = id[/mm] anwenden zu können.
Aber ich weiß schon dass 4) auf jeden Fall falsch ist. Mir fehlt nur die nötige Idee wie ich es anders machen könnte
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Die Reihenfolge stimmt nicht ganz.
Du setzt das voraus, was zu beweisen ist und schließt dann Schlüsse, die wahr sind.
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> Die Hintereinanderschaltung [mm]g \circ f: A \to A[/mm] der beiden
> Abbildungen [mm]f: A \to B[/mm] und [mm]g: B \to A[/mm] sei die Identität.
> Man zeige:
> g ist surjektiv und f ist injektiv
Also [mm](g\circ f)(x) \equiv id(x)[/mm]. Damit wäre [mm]g\circ f[/mm] bijektiv und somit injektiv und surjektiv.
z.z.
a) aus [mm]g\circ f[/mm] injektiv folgt f ist injektiv
b) aus [mm]g\circ f[/mm] surjektiv folgt g ist surjektiv
a)
[mm]x_1,x_2 \in A[/mm] mit [mm]x_1\neq x_2[/mm]. Da [mm]g\circ f[/mm] injektiv folgt [mm](g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)[/mm] ...
b)
Sei [mm]x_3 \in A[/mm]. z.z. [mm]\exists x_2\in B : g(x_2)=z[/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
danke erstmal!
> z.z.
> a) aus [mm]g\circ f[/mm] injektiv folgt f ist injektiv
> b) aus [mm]g\circ f[/mm] surjektiv folgt g ist surjektiv
>
> a)
> [mm]x_1,x_2 \in A[/mm] mit [mm]x_1\neq x_2[/mm]. Da [mm]g\circ f[/mm] injektiv folgt
[mm](g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)[/mm]
[mm]\underbrace{g(f(x_1))}_{g\circ f = id}\neq \underbrace{g(f(x_2))}_{g\circ f = id} \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)[/mm]
[mm]x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)[/mm]
Dies ist nur erfüllt wenn f injektiv ist, da jedem b [mm] \in [/mm] B höchstens ein x [mm] \in [/mm] A gibt, so dass f(x)=b. (Bei surjektiv gibt es mindestens ein x [mm] \in [/mm] A, so dass f(x)=b ist)
> b)
> Sei [mm]x_3 \in A[/mm]. z.z. [mm]\exists x_2\in B : g(x_2)=z[/mm] ...
Sei [mm] f(x_3)=x_2 \Rightarrow g(f(x_3))=z. [/mm]
g ist also surjektiv.
Bei Teil b bin ich mir ganz unsicher, wie ich das zeigen soll.
lg
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> Hallo,
> danke erstmal!
>
> > z.z.
> > a) aus [mm]g\circ f[/mm] injektiv folgt f ist injektiv
> > b) aus [mm]g\circ f[/mm] surjektiv folgt g ist surjektiv
> >
> > a)
> > [mm]x_1,x_2 \in A[/mm] mit [mm]x_1\neq x_2[/mm]. Da [mm]g\circ f[/mm] injektiv
> folgt
> [mm](g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)[/mm]
>
> [mm]\underbrace{g(f(x_1))}_{g\circ f = id}\neq \underbrace{g(f(x_2))}_{g\circ f = id} \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)[/mm]
> [mm]x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)[/mm]
>
> Dies ist nur erfüllt wenn f injektiv ist, da jedem b [mm]\in[/mm] B
> höchstens ein x [mm]\in[/mm] A gibt, so dass f(x)=b. (Bei surjektiv
> gibt es mindestens ein x [mm]\in[/mm] A, so dass f(x)=b ist)
Ist ja gut, dass du es trotz meiner unfreiwilligen Verwirrungsversuchen trotzdem hinbekommen hast.
Der genaue Grund liegt darin, dass g eine Funktion ist. Sollte man vielleicht noch erwähnen.
[mm]g(f(x_1))\neq g(f(x_2)) \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)[/mm] , da g eine Funktion ist. fertig.
>
> > b)
> > Sei [mm]x_3 \in A[/mm]. z.z. [mm]\exists x_2\in B : g(x_2)=z[/mm] ...
>
> Sei [mm]f(x_3)=x_2 \Rightarrow g(f(x_3))=z.[/mm]
>
> g ist also surjektiv.
>
> Bei Teil b bin ich mir ganz unsicher, wie ich das zeigen
> soll.
Da ich den ersten Teil ein wenig am Anfang vermasselt habe, mache ich es komplett:
Sei [mm]x_3\in A[/mm]. Z.z. [mm]\exists x_2\in B : g(x_2)=z[/mm]
[mm]g\circ f[/mm] ist surjektiv [mm]\Rightarrow \exists x_1\in A[/mm] mit [mm](g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=x_3[/mm]. Setze [mm]x_2:=f(x_1)[/mm] Damit existiert ein [mm]x_2\in B [/mm] mit [mm]g(x_2)=x_3[/mm]
>
> lg
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Sei [mm]x_3\in A[/mm]. Z.z. [mm]\exists x_2\in B : g(x_2)=z[/mm]
das z muss in diesem Fall [mm] x_3 [/mm] sein oder?
Ist es egal, dass am Ende [mm] g(f(x_1)=x_3 [/mm] ist und nicht [mm] x_1? [/mm] Weil g [mm] \circ [/mm] f = id ist. Oder ist es in diesem Fall egal, da wir uns auf das surjektive g konzentrieren?
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Allgemein zeigt man es so. Natürlich ist hier im speziellen [mm] $x_3=x_1$. [/mm]
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