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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 So 17.04.2011 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Seien X,Y,Z Mengen und $f: X [mm] \to [/mm] Y, g: Y [mm] \to [/mm] Z$ Abbildungen. Zeige: Ist $g [mm] \circ [/mm] f$ bijektiv, so ist $g$ surjektiv und $f$ injektiv |
Wie man zeigt, dass $f$ injektiv ist, habe ich verstanden, aber bei der surjektiv Lösung überhaupt nicht:
Angenommen $g$ ist nicht surjektiv, d.h. $Z [mm] \backslash [/mm] g(Y) [mm] \not [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Warum gilt das??
$f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] g(f(X)) [mm] \subseteq [/mm] g(Y)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] Z [mm] \backslash (g\circ [/mm] f)(X) [mm] \not= \emptyset$ [/mm] Wieso folgt das?, da $g [mm] \circ [/mm] f(X) [mm] \subseteq [/mm] g(Y)$ gilt. Widerspruch da [mm] $g\circ [/mm] f$ bijektiv. Was genau ist der Wiederspruch?
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Moin Joan,
> Seien X,Y,Z Mengen und [mm]f: X \to Y, g: Y \to Z[/mm] Abbildungen.
> Zeige: Ist [mm]g \circ f[/mm] bijektiv, so ist [mm]g[/mm] surjektiv und [mm]f[/mm]
> injektiv
> Wie man zeigt, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, habe ich verstanden,
> aber bei der surjektiv Lösung überhaupt nicht:
>
> Angenommen [mm]g[/mm] ist nicht surjektiv, d.h. [mm]Z \backslash g(Y) \not = \emptyset[/mm].
> Warum gilt das??
Nun, g(Y) ist das Bild von g. Da g nicht surjektiv ist, stimmt dieses Bild nicht mit Z überein ('es gibt ein [mm] z\in [/mm] Z, dass von g nicht getroffen wird').
>
> [mm]f(X) \subseteq Y \Rightarrow g(f(X)) \subseteq g(Y)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Z \backslash (g\circ f)(X) \not= \emptyset[/mm]
> Wieso folgt das?, da [mm]g \circ f(X) \subseteq g(Y)[/mm] gilt.
Die Begründung steht eigentlich dahinter. Verwendet wird noch die Gegenannahme, [mm] Z\backslash g(Y)\not=\emptyset
[/mm]
Beachte [mm] Z\backslash g(Y)\subseteq Z\backslash (g\circ [/mm] f)(X) wegen [mm] (g\circ f)(X)\subseteq [/mm] g(Y), daher Z [mm] \backslash (g\circ [/mm] f)(X) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
> Widerspruch da [mm]g\circ f[/mm] bijektiv. Was genau ist der
> Wiederspruch?
Es gibt ein Element in Z, dass kein Urbild in X besitzt. Dann kann die Verknüpfung aber nicht bijektiv sein.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 17.04.2011 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die super Erklärung. Habe jetzt alles verstanden :)
Liebe Grüße
Joan
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