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| Aufgabe | f:M [mm] \to [/mm] N Zeigen Sie f surjektiv [mm] \gdw [/mm] N\ f(A) [mm] \subset [/mm] f(M\ A)
für alle A [mm] \subset [/mm] M |
Also, bei der Hinrichtung hatte ich folgende Gedanken:
y [mm] \in [/mm] N\ f(A) und x [mm] \in [/mm] (M\ A)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(M\ A) und da y= f(x)
gilt N\ f(A) [mm] \subset [/mm] f(M\ A)
Korrigiert mich bitte wenn ich damit falsch liege!
Für die Rückrichtung habe ich jedoch noch keine Lösung gefunden und wäre
sehr dankbar für jede Hilfe!
mfg Seamus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f:M [mm]\to[/mm] N Zeigen Sie f surjektiv [mm]\gdw[/mm] N\ f(A) [mm]\subset[/mm]
> f(M\ A)
> für alle A [mm]\subset[/mm] M
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu zeigen sind zwei Richtungen:
1. f surjektiv [mm] ==> [/mm] N\ f(A) [mm]\subset[/mm] f(M\ A) für alle A [mm]\subset[/mm] M
2. N\ f(A) [mm]\subset[/mm] f(M\ A) für alle A [mm]\subset[/mm] M ==> f surjektiv
Zu 1.
Voraussetzung: [mm] A\subseteq [/mm] M und [mm] f:M\to [/mm] N surjektiv,
dh. für jedes [mm] n\in [/mm] N gibt es ein m [mm] \in [/mm] M mit f(m)=y
zu zeigen:
Dann gilt N\ f(A) [mm]\subset[/mm] f(M\ A) ,
dh aus [mm] y\in [/mm] N\ f(A) folgt f(M\ A)
Beweis:
Sei [mm] y\in [/mm] N\ f(A)
==>
[mm] y\in [/mm] N und [mm] y\not\in [/mm] f(A)
==>
(es gibt ein [mm] x\in [/mm] M mit ... ) und (für alle [mm] x\in [/mm] A gilt ...)
==>
...
Versuch Dich mal dran.
Schreibe für die andere Richtung genau auf, was Voraussetzung ist und was Du zeigen möchtest, ähnlich wie oben.
Dann erst - wenn nämlich klar ist, worauf Du zusteuern mußt - beginne mit dem Beweis.
Gruß v. Angela
> Also, bei der Hinrichtung hatte ich folgende Gedanken:
>
> y [mm]\in[/mm] N\ f(A) und x [mm]\in[/mm] (M\ A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(M\ A) und da y= f(x)
> gilt N\ f(A) [mm]\subset[/mm] f(M\ A)
>
> Korrigiert mich bitte wenn ich damit falsch liege!
> Für die Rückrichtung habe ich jedoch noch keine Lösung
> gefunden und wäre
> sehr dankbar für jede Hilfe!
>
> mfg Seamus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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