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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - symmetr. Matrix
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symmetr. Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Mo 19.12.2016
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei A [mm] \in M(n\times n,\IC) [/mm] eine bel. quadrat. komplexe Matrix. Zeige, dass A als Produkt [mm] A=S_1S_2 [/mm] mit symmetri. Matrizen [mm] S_1, S_2\in M(n\times n,\IC) [/mm] darstellbar.

Hallo zusammen,

ich habe erstmal A als ein Jordanblock betrachtet, sprich [mm] A=J_n(\lambda). [/mm]

Dieses habe mi 2 symmetrischen Matrizen dargestellt und zwar

[mm] J_n(\lambda)=\pmat{ \lambda & 1& 0&\ldots &0\\ 0 & \lambda& 1&\ldots&0\\ \vdots &\ldots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ldots &0&\lambda&1 \\0&0&\ldots& 0&\lambda }=\underbrace{\pmat{ 0 & 0& 0&\ldots &1\\ 0 & 0 &\ldots&1&0\\ \vdots &\ldots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&1&\ldots &0&0 \\1&0&\ldots& 0&0}}_{=B}*\underbrace{\pmat{ 0 & 0& 0&\ldots &\lambda\\ 0 & 0&\ldots&\lambda&1\\ \vdots &\ldots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\lambda&1&\ldots &0 \\ \lambda&1&\ldots& 0&0 }}_{=C} [/mm]

Leider weiss ich nicht wie ich die Aufgabe fortführen kann. kann mir da jemand einen Tipp geben? Danke.

        
Bezug
symmetr. Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Di 20.12.2016
Autor: hippias

Nennen wir die erste Matrix mal [mm] $B_{n}$ [/mm] und die zweite [mm] $C_{n}(\lambda)$. [/mm] Sind [mm] $B_{n}$ [/mm] und [mm] $C_{n}(\lambda)$ [/mm] symmetrisch?

Kommst Du entsprechende (Block-)Matrizen angeben, falls $A= [mm] \pmat{ J_{n_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & 0 & \ldots 0\\ 0 & J_{n_{2}}(\lambda_{2}) & 0 & \ldots 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \hdots & 0 & J_{n_{r}}(\lambda_{r})\\}$ [/mm] gilt?

Wie ist der Zusammenhang zwischen eine beliebigen Matrix $A$ und und ihrer Jordannormalform?

Bezug
                
Bezug
symmetr. Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:09 Di 20.12.2016
Autor: mimo1

[mm] B_n [/mm] und [mm] C_n(\lambda) [/mm] sind symmetrische Matrizen da [mm] B_n^T=B_n [/mm] und [mm] C_n(\lambda)^T=C_n(\lambda) [/mm]

Dann kann ich folgendes schreiben:

A= [mm] \pmat{ J_{n_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & 0 & \ldots 0\\ 0 & J_{n_{2}}(\lambda_{2}) & 0 & \ldots 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \hdots & 0 & J_{n_{r}}(\lambda_{r})\\}=\underbrace{ \pmat{ B_{n_{1}} & 0 & 0 & \ldots 0\\ 0 & B_{n_{2}} & 0 & \ldots 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \hdots & 0 & B_{n_{r}}\\}}_{=B}* \underbrace{\pmat{ C_{n_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & 0 & \ldots 0\\ 0 & C_{n_{2}}(\lambda_{2}) & 0 & \ldots 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \hdots & 0 & C_{n_{r}}(\lambda_{r})\\}}_{=C} [/mm]

Ich habe es für den Fall falls [mm] A=J_n{\lambda} [/mm] bestimmt.

Jetzt habe noch auf folgendes gelesen: Es gibt ein [mm] P\in GL(n,\IC) [/mm] sodass

[mm] J_A=P^{-1}*A*P [/mm] das habe dann umgeformt nach A

[mm] \Rightarrow A=P*J_A*P^{-1} [/mm] = [mm] P*B*C*P^{-1} [/mm]

Aber jetzt kann ich nicht behaupten, dass PB und [mm] CP^{-1} [/mm] symmetrischen Matrizen sind, da ich nur weiß, dass C und B symmetrische Matrizen sind und falls P symmetrisch ist muss aber das Produkt nicht symmetrisch sein.
Kann mir jemand da weiterhelfen? Dankeschön im Voraus!

Bezug
                        
Bezug
symmetr. Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Do 22.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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