symmetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 09.05.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo Leute ich habe da mal wieder so ne aufgabe. Sie lautet
Es sei K ein Körper und [mm]n\in\IN[/mm]
a) Zeigen Sie: Ist [mm]B \in K^{n*n}[/mm] eine Begleitmatrix und erfüllt [mm]S \in K^{n*n}[/mm] die Gleichung [mm]SB=B^TS[/mm], so ist S symmetrisch.
b) Zeigen Sie mit a): Zu jeder (n*n)-Matrix A über K existiert eine symmetrische Matrix [mm]P \in GL_n(K)[/mm] mit [mm]P^{-1}AP=A^T[/mm]
ICh weiß nicht so recht wie ich da vorgehen soll. Habe heute echt ein Brett vor dem Kopf. Danke für die Hilfe
Nick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nick!
> Hallo Leute ich habe da mal wieder so ne aufgabe. Sie
> lautet
>
> Es sei K ein Körper und [mm]n\in\IN[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Ist [mm]B \in K^{n*n}[/mm] eine Begleitmatrix und
> erfüllt [mm]S \in K^{n*n}[/mm] die Gleichung [mm]SB=B^TS[/mm], so ist S
> symmetrisch.
Könntest du mir bitte noch mitteilen, was Ihr unter Begleitmatrix versteht?
Ist das eine Matrix, die in der rechten Spalte die negativen Koeffizienten eines Polynoms stehen hat und sonst nur Nullen enthält, außer unterhalb der Hauptdiagonalen, wo Einsen stehen?
Das ist doch bestimmt bei Euch in der Vorlesung definiert worden, poste mir das bitte mal.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 So 09.05.2004 | | Autor: | Nick |
Ja so wurde die Begleitmatrix bei uns in der VOrlesung definiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
ich fürchte, ich bin hier überfragt, jedenfalls habe ich im Augenblick keine Ruhe dazu.
Ich schreibe das aber, weil sich so vielleicht ein anderer findet, der dir weiter hilft.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nick,
> Hallo Leute ich habe da mal wieder so ne aufgabe. Sie
> lautet
>
> Es sei K ein Körper und [mm]n\in\IN[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Ist [mm]B \in K^{n*n}[/mm] eine Begleitmatrix und
> erfüllt [mm]S \in K^{n*n}[/mm] die Gleichung [mm]SB=B^TS[/mm], so ist S
> symmetrisch.
Ich versuche es noch mal, allerdings "mit Gewalt", da ich keine höheren Sätze über Begleitmatrizen kenne.
Eine Begleitmatrix hat die Form [mm]B=\begin{pmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & \ddots & & & -a_1 \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
& & & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}[/mm]
Ist nun [mm]S=\begin{pmatrix}
s_{11} & s_{12} & \ldots & s_{1n} \\
s_{21} & s_{22} & \ldots & s_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
s_{n1} & s_{n2} & \ldots & s_{nn}
\end{pmatrix}[/mm]
so ist
[mm]SB=\begin{pmatrix}
s_{11} & s_{12} & \ldots & s_{1n} \\
s_{21} & s_{22} & \ldots & s_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
s_{n1} & s_{n2} & \ldots & s_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & \ddots & & & -a_1 \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
& & & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
s_{12} & s_{13} & \ldots & s_{1n} & ?? \\
s_{22} & s_{23} & \ldots & s_{2n} & ?? \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
s_{n-1,2} & s_{n-1,3} & \ldots & s_{n-1,n} & ?? \\
s_{n2} & s_{n3} & \ldots & s_{nn} & ??
\end{pmatrix}[/mm]
und
[mm]B^tS=\begin{pmatrix}
0 & 1 & & & \\
& \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & 0 & 1 \\
-a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
s_{11} & s_{12} & \ldots & s_{1n} \\
s_{21} & s_{22} & \ldots & s_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
s_{n1} & s_{n2} & \ldots & s_{nn}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
s_{21} & s_{22} & \ldots & s_{2,n-1} & s_{2n} \\
s_{31} & s_{32} & \ldots & s_{3,n-1} & s_{3n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
s_{n1} & s_{n2} & \ldots & s_{n,n-1} & s_{nn} \\
?? & ?? & \ldots & ?? & ??
\end{pmatrix}[/mm]
Mmh, hier habe ich mich wohl verzettelt. Es folgt zwar schon für ein paar symmetrisch gelegene Einträge, dass diese gleich sein müssen, aber ich sehe das Prinzip noch nicht.
Ausserdem bin ich (wieder mal) ziemlich sicher, dass es viel einfacher geht...
> b) Zeigen Sie mit a): Zu jeder (n*n)-Matrix A über K
> existiert eine symmetrische Matrix [mm]P \in GL_n(K)[/mm] mit
> [mm]P^{-1}AP=A^T[/mm]
>
> ICh weiß nicht so recht wie ich da vorgehen soll. Habe
> heute echt ein Brett vor dem Kopf. Danke für die Hilfe
Ich auch nicht...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 12.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Wie an dem Beispiel ersichtlich ist, reicht es, von der Matrix A = SB = [mm] B^{t}S [/mm] die ersten n-1 Zeilen und Spalten zu betrachten, dort werden nämlich bereits alle [mm] s_{i,j} \in [/mm] S mit i [mm] \not= [/mm] j verglichen.
Ist [mm] a_{i,j} [/mm] der Eintrag von A in Zeile i, Spalte j, so ist [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (s_{i,k} [/mm] * [mm] b_{k,j}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (b^{t}_{i,k} [/mm] * [mm] s_{k,j}) [/mm] mit [mm] b^{t}_{i,j} [/mm] als Eintrag von [mm] B^{t}
[/mm]
Betrachtet man nur den oben erwähnten, oberen, linken Teil von A, so lösen sich die Summen zu einem einzelnen Summanden auf, nämlich [mm] s_{i,j+1} [/mm] = [mm] s_{i+1,j}.
[/mm]
Jetzt muss man noch eine elegante Möglichkeit finden, um explizit zu zeigen, dass S symmetrisch ist (Induktion oder so, aber die bekomme ich nicht ohne weiteres hin).
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Nick!
Alles, was hier mal stand, war Blödsinn.
Es gilt doch für jede Begleitmatrix.
Man zeigt mit Hilfe von Marcs Rechnung für [mm]j>i[/mm] (für [mm]i=j[/mm] ist ja nichts zu zeigen):
[mm]s_{ij}=s_{i+1,j-1}[/mm],
und dann mit (un-)vollständiger Induktion:
[mm]s_{ij}=s_{i+k,j-k}[/mm]
für alle [mm]1 \le k \le \min\{n-i,j-1\}[/mm]
und schließt dann auf:
[mm]s_{ij} = s_{i+(j-i),j-(j-i)} = s_{ji}[/mm].
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Nick |
Könntest du mir deine Schritte etwas genauer erklären. ICh verstehe nicht wirklich deinen Gedankengang
Liebe Gerüße
Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Nick,
du müsstest schon etwas deutlicher sagen, was du nicht verstehst.
Schau dir doch mal Marcs Rechnung an und vergleiche die beiden Matrizen, jeden einzelnen Eintrag.
Was stellst du fest?
Richtig, für [mm]i
[mm]s_{ij} = s_{i+1,j-1}[/mm]
Beispiel: [mm]s_{36} = s_{45}[/mm].
(Das könnte man auch formal zeigen, ist aber trivial. Man sieht es ja jedenfalls durch Vergleich der Einträge.)
Daraus können wir nun sukzessive schließen:
[mm]s_{ij} = s_{i+k,j-k}[/mm] für alle [mm]1 \le k \le \max\{n-i,j-1\}[/mm].
Beispiel:
[mm]s_{36} = s_{45} = s_{54} = s_{63} = s_{72} = s_{81}[/mm].
Setzt man speziell [mm]k=j-i[/mm], dann gilt [mm]1 \le j-i \le le \max\{n-i,j-1\}[/mm] und wir erhalten:
[mm]s_{ij} = s_{i+k,j-k} = s_{i+(j-i),j-(j-i)} = s_{ji}[/mm].
Das bedeutet aber gerade, dass [mm]S[/mm] symmetrisch ist!
Beispiel:
[mm]s_{24} = s_{2+(4-2),4-(4-2)} = s_{42}[/mm].
So, jetzt sollte es aber doch klar sein. Oder?
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Es sei [mm]B[/mm] die kanonische rationale Form von [mm]A[/mm]. Da [mm]B[/mm] und [mm]B^T[/mm] ähnlich sind (habt ihr das gezeigt?), gibt es eine Matrix [mm]C \in GL_n(K)[/mm] mit
[mm]B = C^{-1}B^TC[/mm].
Nach a) ist [mm]C[/mm] symmetrisch.
Weiter gibt es eine Matrix [mm]D \in GL_n(K)[/mm] mit
[mm]B = D^{-1}AD[/mm].
Man erhält:
[mm]C^{-1}D^TA^T(D^{-1})^TC = D^{-1}AD[/mm],
also:
[mm]DC^{-1}D^T A^T = ADC^{-1}D^T[/mm]
und damit:
[mm] A^T [/mm] = [mm] (D^{-1})^TCD^{-1}ADC^{-1}D^T.
[/mm]
Definiere nun [mm]P:=DC^{-1}D^T[/mm].
[mm]P[/mm] ist symmetrisch, da [mm]C[/mm] und damit auch [mm]C^{-1}[/mm] symmetrisch ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo julius,
danke für deine Lösung, habe aber noch eine kleine Frage: Warum kannst du die Teilaufgabe a) benutzen, wenn b) kanonisch rationale Form von A ist? In a) zeigt man ja nur dass für Begleitmatrizen. Könntest du mir mal den Zusammenhang erklären?
Danke!
Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Nick,
die rationale kanonische Form ist ja eine Blockmatrix. Sie besteht aus Blöcken von Begleitmatrizen. Die Argumentation überträgt sich nun auf die einzelnen Blöcke. Probiere es anhand von Beispielen mal aus, wenn es dir unklar ist.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Julius
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