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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Fr 01.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben sei die quadratische Form [mm] q(x)=q(x,y)=b(x^2+y^2)+8*xy [/mm] mit [mm] b\in \IR. [/mm] Man kann diese auch mit einer symmetrischen MAtrix [mm] A\in\IR^{2x2} [/mm] darstellen, so dass [mm] q(x)=x^T*Ax=(x,y)\pmat{a_1_1 & a_2_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }\vektor{x \\ y} [/mm] gilt
1, Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A?
2, Für welchen Wert von b ist die Quadratische Form q (d.h. die Matrix A) positiv bzw negativ definit
3, Begründen sie; Ist der Eigenwert von [mm] A\in\IR^{2x2} [/mm] Null, so kann A nicht indefinit sein. |
1,
q(x)= [mm] bx^2+by^2+8xy. [/mm] Dann wäre doch die symmetrische Matrix [mm] \pmat{ b & 4 \\ 4 & b }
[/mm]
Stimmt das? Ich habe das schon mal irgendwo so gesehen, aber ich weiß auch nicht wirklich warum das so ist. Falls es überhaupt stimmt.
2,
Da bestimme ich doch am besten die Eigenwerte von A.
Denn für alle [mm] \lambda [/mm] > 0 =positiv definit und [mm] \lambda [/mm] < 0 ngeative definit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 01.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die quadratische Form
> [mm]q(x)=q(x,y)=b(x^2+y^2)+8*xy[/mm] mit [mm]b\in \IR.[/mm] Man kann diese
> auch mit einer symmetrischen MAtrix [mm]A\in\IR^{2x2}[/mm]
> darstellen, so dass [mm]q(x)=x^T*Ax=(x,y)\pmat{a_1_1 & a_2_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }\vektor{x \\ y}[/mm]
> gilt
>
> 1, Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A?
> 2, Für welchen Wert von b ist die Quadratische Form q
> (d.h. die Matrix A) positiv bzw negativ definit
> 3, Begründen sie; Ist der Eigenwert von [mm]A\in\IR^{2x2}[/mm]
> Null, so kann A nicht indefinit sein.
> 1,
> q(x)= [mm]bx^2+by^2+8xy.[/mm] Dann wäre doch die symmetrische
> Matrix [mm]\pmat{ b & 4 \\ 4 & b }[/mm]
> Stimmt das? Ich habe das
> schon mal irgendwo so gesehen, aber ich weiß auch nicht
> wirklich warum das so ist. Falls es überhaupt stimmt.
Was heißt "irgendwo gesehen", im Fernsehen , im Kino , im Kaffeesatz ? Mann bist Du faul.
Berechne doch mal (alles fein ausmultiplizieren)
(1) $ [mm] (x,y)\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }\vektor{x \\ y} [/mm] $
Dann machst Du Koeffizientenvergleich mit
(2) $ [mm] b(x^2+y^2)+8\cdot{}xy [/mm] $
Das wäre Die Holzhammermethode.
Schneller gehts, wenn Du in (1) und (2) der Reihe nach (1,0), (0,1), (1,1) einsetzt
Beachte dabei: [mm] a_1_2= a_2_1
[/mm]
>
> 2,
> Da bestimme ich doch am besten die Eigenwerte von A.
> Denn für alle [mm]\lambda[/mm] > 0 =positiv definit und [mm]\lambda[/mm] < 0
> ngeative definit
Stimmt
FRED
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 01.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Danke. Ich habe das jetzt alles mal ausmultipliziert.
2,
Im Prinzip müsste ich doch versuchen über
[mm] \pmat{ b-\lambda & 4 \\ 4 & b-\lambda }= (b-\lambda)^2 [/mm] - 16 die Eigenwerte zu bestimmen?
Ich habe aber auch gelesen, daß wenn für [mm] a_1_1 [/mm] > 0 und det A > 0 gilt ,
die symmetrische Matrix auch positiv definit ist.
Also für b>4 ist die Matrix positiv definit und für b < 0 negativ definit
3,
für [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \pmat{ b-0& 4 \\ 4 & b-0 }
[/mm]
indefinit wäre A doch nur wenn [mm] a_1_1 [/mm] und [mm] a_2_2 [/mm] unterschiedliche Vorzeichen hätten, da beide gleich sind, ist das nicht möglich
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> Danke. Ich habe das jetzt alles mal ausmultipliziert.
>
> 2,
> Im Prinzip müsste ich doch versuchen über
> [mm]\pmat{ b-\lambda & 4 \\
4 & b-\lambda }= (b-\lambda)^2[/mm] - 16
> die Eigenwerte zu bestimmen?
Hallo,
so kann man es machen.
>
> Ich habe aber auch gelesen, daß wenn für [mm]a_1_1[/mm] > 0 und
> det A > 0 gilt ,
> die symmetrische Matrix auch positiv definit ist.
> Also für b>4 ist die Matrix positiv definit
Ja.
> und für b < 0 negativ definit
Sicher? Was ist z.B. mit b=-1?
(Du solltest Dir das Kriterium für neg. definit nochmal genau durchlesen...)
>
> 3,
> für [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\pmat{ b-0& 4 \\
4 & b-0 }[/mm]
>
> indefinit wäre A doch nur wenn [mm]a_1_1[/mm] und [mm]a_2_2[/mm]
> unterschiedliche Vorzeichen hätten, da beide gleich sind,
> ist das nicht möglich
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
Für welche b ist denn nun 0 ein Eigenwert?
Was bedeutet indefinit?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 01.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
negativ definit,wenn $k$, [mm] $(-1)^k\vert\mathsfbf{A}_k\vert\gt$
[/mm]
Das bedeutet ja das die Vorzeichen alternieren müssten.
Also für b<-4 wäre dann A negativ definit
3,
Indefinit wäre wenn, [mm] $\det(\mathsfbf{A})\not=0$ [/mm] und A weder positiv noch negativ definit ist.
Aber [mm] \lambda [/mm] ist nur 0 wenn b=4 ist. Aber somit wäre auch det(A)=0
ALso nocht indefinit!
Wäre das die richitge Begründung?
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> negativ definit,wenn [mm]k[/mm], [mm](-1)^k\vert\mathsfbf{A}_k\vert\gt[/mm]
>
> Das bedeutet ja das die Vorzeichen alternieren müssten.
>
> Also für b<-4 wäre dann A negativ definit
Hallo,
ja.
>
>
> 3,
> Indefinit wäre wenn, [mm]\det(\mathsfbf{A})\not=0[/mm] und A weder
> positiv noch negativ definit ist.
In diesem Fall, beim Vorliegen einer [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix, stimmt das, und es stimmt, daß die Matrix für kein b indefinit ist.
Aber wenn Du damit in der HÜ einen Blumentopf gewinnen willst, wirst Du das genauer erklären bzw. schlüssig darstellen müssen mithilfe der Def. bzw. den Kriterien - es sei denn, es steht so für 2x2-Matrizen ausdrücklich im Skript.
[mm] [Bedenke:\pmat{-3&0&0\\0&0&0\\0&0&2} [/mm] ist auch indefinit.]
> Aber [mm]\lambda[/mm] ist nur 0 wenn b=4 ist.
Das stimmt nicht.
Gruß v. Angela
> Aber somit wäre auch
> det(A)=0
> ALso nicht indefinit!
>
> Wäre das die richitge Begründung?
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