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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 20.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | Sei V:= M(nxn,K) der Raum quadratischer Matrizen mit den Einträgen aus K.
a)Zeigen Sie, dass die symmetrischen Matrizen A (d.h. A=tA) einen Untervektorraumvon V bilden Bestimmen Sie die Dimension dieses Untervektorraums.
b)sei A E V eine Matrix vom Rang r. Man betrachte die Abbildung fa : V-->V,X-->AX.
Zeigen Sie, dass fa linear ist. Was ist die Dimension von Ker f und Im f ? |
Also ich he mal wieder ein Problemchen.
Zur a) Muss ich hier erstmal nachweisen, dass die Matrizen einen Körper bilden oder darf ich davon ausgehen (bzw gibt es da irgendeinen Trick?)?
Also das Nullelement ist ja auch symmetrisch und das neutrale Element der Addition und die Summe zweier symmetrischer matrizen ist wieder symmetrisch, außerdm ist die Multiplikation mit einem Skalar wieder eine symmetrische Matrix. Reich das oder habe ich etwas vergessen. Wie gesagt, dass mit den Körperaxiomen ist mir nicht so klar ob ich das zeigen muss.
Und dann zur Dimension. Da muss glaub [mm] 1/2n^2 [/mm] * 1/2n rauskommen aber ich eis nicht wie ich darauf kommen soll. Also die Basen bei einer 2x2 Matrix sind ja [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] da ja gilt A=tA oder? Aber das ist ja noch kein Beweis für die Dimension.
Jetzt zu der b)Ich versteh schon die aufabe glaube ich nicht. Muss ich hier einfach nur die Axiome für eine lineare Abbildung nachprüfen? Und wie bestimme ich die dim vom Ker und vom Im. Ker ist ja die Abbildung, die auf den Nullvektor abbildet und Im der Rest.
Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar...
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> Sei V:= M(nxn,K) der Raum quadratischer Matrizen mit den
> Einträgen aus K.
> a)Zeigen Sie, dass die symmetrischen Matrizen A (d.h. A=tA)
> einen Untervektorraumvon V bilden Bestimmen Sie die
> Dimension dieses Untervektorraums.
> Zur a) Muss ich hier erstmal nachweisen, dass die Matrizen
> einen Körper bilden oder darf ich davon ausgehen (bzw gibt
> es da irgendeinen Trick?)?
Hallo,
ich glaube, diese Aufgabe ist wirklich frei von Tricks.
Nein, daß diese Menge einen Körper bildet, brauchst Du nicht zu zeigen - es würde auch gar nicht stimmen, dazu weiter unten.
> M ist ein ein Vektorraum über K , das wurde in der Vorlesung oder Übung gezeigt, und die einzige Verknüpfung von Elementen aus V, die dafür benötigt und untersucht wird, ist die Addition, hier also die Addition v. Matrizen. Die Multiplikation v. Matrizen kommt hier gar nicht vor.
Du Sollst nun zeigen, daß die symmetrischen Matrizen einen Unterraum von V bilden, und dafür mußt Du in der Tat zeigen, was Du nun beschreibst, nämlich die Unterrraumkriterien.
> Also das Nullelement ist ja auch symmetrisch
und liegt deshalb in der Menge, also ist die Menge nichtleer.s] (Wir nennen sie mal [mm] M_s, [/mm] die hat ja noch gar keinen Namen bekommen.)
> [und das neutrale Element der Addition[/s] und die Summe zweier
> symmetrischer matrizen ist wieder symmetrisch, außerdm ist
> die Multiplikation mit einem Skalar wieder eine
> symmetrische Matrix. Reich das oder habe ich etwas
> vergessen.
Nein. Das sit das, was zu zeigen ist.
> Wie gesagt, dass mit den Körperaxiomen ist mir
> nicht so klar ob ich das zeigen muss.
Wie gesagt kommt ja unter den Elementen des Vektorraums nur eine einzige Verknüpfung vor, die Addition.
Du hättest aber grundsätzlich auch ein ein Problem damit, zu zeigen, daß die Matrizen mit Addition und Multiplikation einen Körper bilden: es sind doch gar nciht alle matrizen invertierbar! Was für diese Aufgabe hier keine Rolle spielt.
> Und dann zur Dimension. Da muss glaub [mm]1/2n^2[/mm] * 1/2n
> rauskommen aber ich eis nicht wie ich darauf kommen soll.
> Also die Basen bei einer 2x2 Matrix
Nein, nein, nein und nochmal nein: Matrizen haben keine Basis. Basen haben Vektorräume.
Daher hat der Vektorraum der Matrizen eine Basis.
> sind ja [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] da ja
> gilt A=tA oder? Aber das ist ja noch kein Beweis für die
> Dimension.
Eine Basis des (kompletten) Raumes der 2x2-Matrizen sind ja die vier Elementarmatrizen, also ist dessen Basis =4.
Jetzt gucken wir mal die symmetrischen 2x2-Matrizen an. Die sehen ja so aus: [mm] \pmat{ a & b \\ b & d }
[/mm]
Mit welchen drei Matrizen kannst Du Matrizen dieser Gestalt ganz bequem erzeugen?
Mit Deinen oben angegebenen geht's nicht, und außerdem sind die nicht alle symmetrisch.
> Jetzt zu der b)Ich versteh schon die aufabe glaube ich
> nicht. Muss ich hier einfach nur die Axiome für eine
> lineare Abbildung nachprüfen?
Ja.
Die Abbildung [mm] f_A [/mm] geht aus dem Raum der Matrizen in den Raum der Matrizen und ich definiert durch [mm] f_A(X):=AX [/mm] für alle [mm] X\in [/mm] V.
Hier kommt dann ins Spiel, daß Du weißt, daß die Matrizen mit Addition und Multiplikation einen Ring bilden.
Wenn Du die Linearität beweist, achte auf saubere Begründungen.
> Und wie bestimme ich die dim
> vom Ker und vom Im. Ker ist ja die Abbildung, die auf den
> Nullvektor abbildet und Im der Rest.
Da der Rang von A gegeben ist, kennen wir immerhin schonmal auch die Dimension des Kerns, das muß man gewiß verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Wow supe erklärt, dankeschön. Da hatte ich mich glaub in was verannt, ich dachte mit einträgen aus K heißt Einträge aus einem Körper... Naja
Aber noch eine kleine Frage: Warum sind meine angegebenen Matrizen nicht symmetisch? Ich habe keine Idee wie ich sie sonst anders darstellen könnte, vielleciht diese?
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $
> , $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] $ und $ [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Aber das ist ja noch kein Beweis für die Dimension (wenn sie überhaupt stimmen....)
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> Wow supe erklärt, dankeschön. Da hatte ich mich glaub in
> was verannt, ich dachte mit einträgen aus K heißt Einträge
> aus einem Körper... Naja
>
> Aber noch eine kleine Frage: Warum sind meine angegebenen
> Matrizen nicht symmetisch?
Weil sie nicht symmetrisch sind. Transponier doch mal [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Ich habe keine Idee wie ich sie
> sonst anders darstellen könnte, vielleciht diese?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > , [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] und
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Aber das ist ja noch kein Beweis für die Dimension (wenn
> sie überhaupt stimmen....)
Sie sind's .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Susan86 |
Super, dankeschön, du hast mich echt gerettet. Jetzt krieg ich es glaub hin.
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