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symmetrische Mengendifferenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Fr 08.11.2013
Autor: kRAITOS

Aufgabe
Es seien A und B Mengen. Die Menge

A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A )

heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B. Beweisen Sie:

A [mm] \Delta [/mm] B = (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B)

Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:

(A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A ) = (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B).

Also wenn x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A ), ist auch x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B)?
        
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:28 Fr 08.11.2013
Autor: blascowitz

Hallo,

>
> A [mm]\Delta[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A )
>  
> heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B.
> Beweisen Sie:
>  
> A [mm]\Delta[/mm] B = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>  Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:
>  
> (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ) = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B).
>  
> Also wenn x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ), ist auch x [mm]\in[/mm] (A
> [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)?

so ist es. Allerdings musst du auch noch die Richtung

$x [mm] \in \left(A \cup B\right) \setminus \left(A \cap B \right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \left(A\setminus B\right)\cup \left(B \setminus A\right)$ [/mm]

bewiesen werden.

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Fr 08.11.2013
Autor: kRAITOS

Vielen Dank. :-)
Bezug
        
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Fr 08.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Es seien A und B Mengen. Die Menge
>
> A [mm]\Delta[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A )
>  
> heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B.
> Beweisen Sie:
>  
> A [mm]\Delta[/mm] B = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>  Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:
>  
> (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ) = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B).
>  
> Also wenn x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ), ist auch x [mm]\in[/mm] (A
> [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)?

neben dem bereits Gesagten:

Zeichne Dir auch mal ein []Venn-Diagramm!

Gruß,
  Marcel
Bezug
                
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Fr 08.11.2013
Autor: kRAITOS

Ich hab mal eine Richtung gemacht:

x [mm] \in (A\b) \cup (B\A) \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A)

[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B)

Ist das richtig?


Bezug
                        
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 08.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Ich hab mal eine Richtung gemacht:

>
> x [mm]\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A) \gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)[mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A)

Da fehlen Klammern!

Genauer ist  das [mm](x\in A \ \wedge \ x\notin B) \ \vee \ (x\in B \ \wedge \ x\notin A)[/mm]

Das müsstest du distributiv weiter verarzten ...

>
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)

Abgesehen davon, dass du wieder besser klammern solltest, solltest du einen oder zwei Zwischenschritte machen, denn das ist nicht alles, wenn du oben distributiv auflöst, es fehlen die "Terme" [mm] $(x\in [/mm] A \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x\notin [/mm] A) \ [mm] \wedge [/mm] \ [mm] (x\in [/mm] B \ [mm] \vee x\notin [/mm] B)$, die zwar beide immer wahr sind, du sie also nachher weglassen kannst, aber gerade wenn man mit solchen Aufgaben anfängt, sollte man genau arbeiten!


> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)

Begründung für letzteres?

> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)

>
> Ist das richtig?

Ja und nein ;-)

Du würdest wahrscheinlich einiges an Punktabzug bekommen ...

Genauer begründen und detaillierter aufschreiben ...

Gruß

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Fr 08.11.2013
Autor: kRAITOS


> Hallo,
>  
>
> > Ich hab mal eine Richtung gemacht:
>  >
>  > x [mm]\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A) \gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A)

> [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)[mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A)
>  
> Da fehlen Klammern!
>  
> Genauer ist  das [mm](x\in A \ \wedge \ x\notin B) \ \vee \ (x\in B \ \wedge \ x\notin A)[/mm]
>  
> Das müsstest du distributiv weiter verarzten ...
>  
> >
>  > [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm]

> (x [mm]\notin[/mm] B)
>  
> Abgesehen davon, dass du wieder besser klammern solltest,
> solltest du einen oder zwei Zwischenschritte machen, denn
> das ist nicht alles, wenn du oben distributiv auflöst, es
> fehlen die "Terme" [mm](x\in A \ \vee \ x\notin A) \ \wedge \ (x\in B \ \vee x\notin B)[/mm],
> die zwar beide immer wahr sind, du sie also nachher
> weglassen kannst, aber gerade wenn man mit solchen Aufgaben
> anfängt, sollte man genau arbeiten!

Also [mm] x\in [/mm] ( A \ B) [mm] \cup [/mm] ( B \ A)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] A)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)  [mm] \wedge [/mm]  x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)


>  
>
> > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
>  
> Begründung für letzteres?

Durch das [mm] \notin [/mm] ist es ja eine Verneinung. Deswegen?

>  
> > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>  >
>  > Ist das richtig?

>  
> Ja und nein ;-)
>  
> Du würdest wahrscheinlich einiges an Punktabzug bekommen
> ...
>  
> Genauer begründen und detaillierter aufschreiben ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
Bezug
                                        
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Fr 08.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,



> Also [mm]x\in[/mm] ( A \ B) [mm]\cup[/mm] ( B \ A)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] A)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\vee[/mm] x [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)

>
>
> >
> >
> > > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)

Viel besser!

> >
> > Begründung für letzteres?

>
> Durch das [mm]\notin[/mm] ist es ja eine Verneinung. Deswegen?

De Morgan'sche Regeln!

Gruß

schachuzipus
Bezug
                                                
Bezug
symmetrische Mengendifferenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 Sa 09.11.2013
Autor: kRAITOS

Danke dir. :)
Bezug
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