symmetrische gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
| Aufgabe | Zeigen Sie für jedes [mm] \gamma \in S_{n} [/mm] gilt:
[mm] \gamma (a_{1} [/mm] , [mm] a_{2},..., a_{k}) \gamma [/mm] ^-1 =( [mm] \gamma (a_{1}) [/mm] , [mm] \gamma (a_{2} [/mm] ),..., [mm] \gamma\ (a_{k}) [/mm]
[mm] S_{n} [/mm] ist eine symmetrische Gruppe |
ich weiß, wie man [mm] \gamma^{-1} [/mm] auch schreiben kann, aber ich schaffe es nicht das in die Zyklenschreibweise umzuformen.....
[mm] \gamma^{-1}= [/mm] ( [mm] \gamma(1) \gamma(2) \gamma(3) [/mm] ................... [mm] \gamma(n) [/mm] )
1, 2, 3.........................n )
ist doch korrekt oder
so, jetzt zur zyklenschreibweise:
( [mm] \gamma(1) [/mm] 1....
was folgt dann? die 1 wird ja auf nichts weiteres mehr abgebildet?!?
:?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Fr 02.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend Fröschchen 
Es sieht mir sehr danach aus, daß du nur zu kompliziert denkst.
Dabei ist die Sache sehr einfach.
Zum Beweis der Gleichung müssen wir einfach folgendes zeigen:
[mm] $\gamma(a_1)$ [/mm] wird auf [mm] $\gamma(a_2)$ [/mm] abgebildet.
[mm] $\gamma(a_2)$ [/mm] wird auf [mm] $\gamma(a_3)$ [/mm] abgebildet.
[mm] $\gamma(a_3)$ [/mm] wird auf [mm] $\gamma(a_4)$ [/mm] abgebildet.
.... und so weiter...
[mm] $\gamma(a_k)$ [/mm] wird auf [mm] $\gamma(a_1)$ [/mm] abgebildet.
Aber das ist offensichtlich. Betrachte mal beispielhaft [mm] $\gamma(a_1)$.
[/mm]
Durch die Funktion $ [mm] \gamma (a_{1} [/mm] , [mm] a_{2}, \ldots, a_k) \gamma^{-1}$ [/mm] wird zuerst [mm] $\gamma(a_1)$. [/mm] auf [mm] $a_1$ [/mm] abgebildet,
dann durch das Zykel [mm] $a_1$ [/mm] auf [mm] $a_2$, [/mm] dann wird [mm] $a_2$ [/mm] durch [mm] $\gamma$ [/mm] auf [mm] $\gamma(a_2)$ [/mm] abgebildet.
Und entsprechend läuft das auch mit den weiteren [mm] $a_i$ [/mm] und ganz analog mit [mm] $a_k$.
[/mm]
Ich denke das siehst du jetzt selbst, oder?
Für den Beweis mußt du das jetzt nur noch allgemein formulieren.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
> Aber das ist offensichtlich. Betrachte mal beispielhaft
> [mm]\gamma(a_1)[/mm].
> Durch die Funktion [mm]\gamma (a_{1} , a_{2}, \ldots, a_k) \gamma^{-1}[/mm]
> wird zuerst [mm]\gamma(a_1)[/mm]. auf [mm]a_1[/mm] abgebildet,
> dann durch das Zykel [mm]a_1[/mm] auf [mm]a_2[/mm], dann wird [mm]a_2[/mm] durch
> [mm]\gamma[/mm] auf [mm]\gamma(a_2)[/mm] abgebildet.
irgendwie stehe ich hier immernoch auf dem schlauch. kann mir das jemand nochmal erklären?
viele grüße rezzana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend rezzana,
ich kann mir nicht vorstellen, daß dir das jemand "nochmal" erklärt, ohne daß du durch konkrete Überlegungen und präzise Fragen gezeigt hast, daß du dich wenigstens bemüht hast, meine Antwort Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 So 04.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
ich bemühe mich auf jeden fall das zu verstehen und habe mir dies vorher auch schon einige male durchgelesen. ich versuche nun schon seit einigen stunden diese aufgabe zu lösen-aber ich mach's mir wahrscheinlich komplizierter als es eigentlich ist. so allmählich verstehe ich es vllt auch.![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") also danke für die schnelle antwort,ich versuch mich an der aufgabe später nochmal. wenn's dann nicht klappt meld ich mich einfach nochmal.
gruß rezzana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich habs anfangs auch nicht verstanden...
guck dir mal genau an was y und [mm] y^{-1} [/mm] ausgeschrieben bedeutet und dann is es klar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
Danke an Will, hab's durch deine Erklärung echt gut nachvollziehen können!!!
Ich hab noch ne weitere Aufgabe zu symmetrischen Gruppen:
Jedes Element [mm] \gamma \in S_{n} [/mm] läßt sich als Produkt von Zykeln der Form (1,i), mit 1<i<n schreiben
PS: heißt es wirklich "das" Zykel ?!?
hat jemand einen tipp für einen Ansatz?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
Das heißt doch man soll zeigen, dass
[mm] \gamma a_{1} =(a_{1})
[/mm]
[mm] \gamma a_{2} =(a_{2})
[/mm]
[mm] \gamma a_{3} =(a_{3})
[/mm]
----------und so weiter bis
[mm] \gamma a_{k} =(a_{k})
[/mm]
, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich glaub, was ich ebengerade geschrieben hab, war müll.... in dieser teilaufgabe ist ja von keine a's die rede sonder nur von i's.........
wie sieht denn in diesem Fall [mm] \gamma [/mm] ausgeschrieben aus?
[mm] \gamma [/mm] = (1 2 3.....
( [mm] \gamma(1) \gamma(2) \gamma(3)....
[/mm]
irgendwie komm ich hier nicht weiter...
die nächste Teilaufgabe sieht fast genauso aus , nur dass hier von Zykelns der Form (1,2) und (1, 2 ,.....n) die Rede ist.... diese Aufgabe erscheint mir auch schleierhaft.......
HELP!!!!PLEASE!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo froggie,
zuerst: Ich fürchte es muß $1 < i [mm] \leq [/mm] n$ heißen und nicht 1 < i < n. Sonst geht das nämlich nicht.
dann der Tipp: Überlege zuerst, daß sich jede Transposition als Produkt dreier "Zykel" der Form (1,i) schreiben läßt (wie?). Da sich jede Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben läßt ist das Ergebnis dann klar.
Noch eine Bitte: Es ist übersichtlicher, wenn du für eine neue Aufgabe/ein neues Problem auch einen neuen Diskussionsstrang öffnest.
Gruß
Will
PS: "Zykel" der Form (1,i) sind natürlich auch Transpositionen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 04.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich habe das jetzt einmal versucht mithilfe deiner Tipps zu beweisen. Die allgemeine Hintereinanderausführung von zwei Zykeln der Form (1,i) habe ich hinbekommen. Nun schreibst du ja, dass sich jede Permuation als Produkt von Transpositionen schreiben lässt. Hierfür konnte ich wiederum einen allgemeinen Zykel finden. i soll ja zwischen 1 und n liegen. Um mich selbst zu kontrollieren, habe ich für n mal Zahlen eingesetzt. Für gerade n (z.B. n=6 und daraus folgend: i = 2,3,4,5) stimmt alles.
Setze ich aber eine ungerade Zahl für n ein (z.B. n = 5 und damit i = 2,3,4) erhalte ich, wenn ich die beiden Zykel (1,2,3,4) miteinander multipliziere:
(1,2,3,4) (1,2,3,4) = (1,3)
Dies ist keine Transposition, oder? Außerdem erhalte ich aus der Multiplikation dieser Transposition mit anderen Transpositionen doch nicht alle Permutationen.
Muss ich also definieren, dass dies nur für gerade n gilt? Oder hab ich da was völlig falsch verstanden, bzw. bin total auf dem falschen Weg?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
also nochmal etwas genauer:
Transpositionen sind schlicht Vertauschungen von Elementen. Jedes Zykel der Form (i, j) ist eben auch eine Transposition.
Und weil (1,j) * (1, i) * (1, j) = (i, j) gilt, kannst du jede Vertauschung von 2 beliebigen Positionen durch Vertauschungen mit jeweils der ersten Position erreichen.
Probier das mal mit farbigen Steinen aus, dann siehst du das leicht.
Da nun jede Permutation allein durch nacheinander ausgeführte Vertauschungen erreicht werden kann, kann sie auch allein durch Vertauschungen zwischen Pos. 1 und anderen Positionen erreicht werden.
Das war ein Erklärungsversuch (weitgehend) ohne Fachbegriffe. War das verständlicher?
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für die vereinfachte Erklärung der Fachbegriffe. Das war aber eigentlich nicht meine Frage. Ich wollte wissen, ob es einen Unterschied für gerade und ungerade n gibt. Für mich klingt das so, als würdest du froggies Frage beantworten.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich dachte ich hätte die Multiplikation von zykely kapiert... anscheinend doch nicht
(
1,j) * (1, i) * (1, j) = (i, j)
Warum kommt im ERgebnis keine 1 vor?
|
|
|
| |
|
Hallo,
die 1 steht da wohl nicht, weil sie auf sich selbst abgebildet wird...
gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:15 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
meine freundin meinte das man die teilaufgabe"jedes element T läßt sich als Produkt von Zyklen der Form (1, i) mithilfe von vollständiger Induktion beweisen soll, stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab deine antwort leider nicht so nachvollziehen können, da ich diese ganzen fremwörter noch nicht kenne, hab mal bei Wikipedia nachgeschaut, aber hat mich nicht wirklich weitergebracht
übrigens das mit dem kleinergleich zeichen war nen tippfehler, danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 04.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo froggie!
Ich habe die Fremdwörter auch nicht gekannt und genau wie du bei Wikipedia nachgesehen. Ich habe es so verstanden:
Eine Transposition eines Zykels ist der Zykel mit vertauschten Elementen.
Also eine Transposition von (1,2,3,4,5) wäre zum Beispiel (1,3,2,4,5).
Koepper schreibt, dass ein Produkt von einem Zykel mit sich selbst, eine Transposition des Zykels ergibt. Ich habs mal mit dem Beispiel von oben ausprobiert und dadurch wurds mir klar.
Weiter sagt er, dass du jeden Zykel der Form (1,i) durch Multiplikation von Transpositionen erhalten kannst. Auch das hab ich mit dem obigen Beispiel gut nachvollziehen können. Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich hab mal ne kurze frage:
(12345)(13245)=(13451) hab ich das richtig gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:44 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ein produkt von einem zykel mit sich selbst ergibt eine transposition des zykels?
hab das mal ausprobiert:
(12345)(12345)=(12345)
Hier sieht das Produkt GENAUSO aus wie seine Faktoren, dann ist es doch keine Transposition ... bei der transposition sind doch immer manche "dinger" vertauscht oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 04.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Deine erste Rechnung: (1,2,3,4,5) (1,2,3,4,5) = (1,3,4,5,1) kann nicht stimmen, weil die 1 in deinem Lösungszykel zweimal vorkommt. Wenn müsstest du da (1,3,4,5) stehen haben (dann würde die 5 wieder auf die 1 abgebildet werden, deshalb brauchst du nicht nochmal die 1 hinzuschreiben).
Ich bin nicht hundertprozentig sicher, aber meiner Meinung nach, stimmt auch das nicht. Meine Lösung ist
(1,2,3,4,5) (1,2,3,4,5) = (1,3,5,2,4)
Die 1 bildet ab auf die 2 und die 2 auf die 3
Die 3 bildet ab auf die 4 und die 4 auf die 5.
Die 5 bildet ab auf die 1 und die 1 auf die 2.
Die 2 bildet ab auf die 3 und die 3 auf die 4.
Die 4 bildet ab auf die 5 und die 5 auf die 1.
--> geschlossener Zykel.
Ich hoffe das stimmt und ich habe dir damit helfen können.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
ah danke für deine ausführliche erklärung, habs verstanden :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich hab mal ne kurze frage:
> (12345)(13245)=(13451) hab ich das richtig gemacht?
das stimmt so nicht, ist aber auch nicht relevant für die Aufgabe.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:58 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
> dann der Tipp: Überlege zuerst, daß sich jede Transposition
> als Produkt zweier "Zykel" der Form (1,i) schreiben läßt
> (wie?).
(1,i)*(1,i)=(1,i).........?
Da sich jede Permutation als Produkt von
> Transpositionen schreiben läßt ist das Ergebnis dann klar.
>
wieder (1,i)*(1,i)=(1,i).........?
???? Permutation heißt "Anordnung eine Menge durch vertauschen ihrer Elemente" ist das nicht das gleiche wie eine Transpostition?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
Kann mir jemand mal diese Aufgabenstellung in eine "Gleichung übersetzen" ? Wäre sehr nett, danke im Vorraus!!!
>
> Jedes Element [mm]\gamma \in S_{n}[/mm] läßt sich als Produkt von
> Zykeln der Form (1,i), mit 1<i<n schreiben
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 13:33 Mo 05.11.2007 | | Autor: | froggie |
bei der Aufgabe hies es noch, das [mm] a_i\in\{1,.....,n\} [/mm] wobei i=(1,.....k) geht.......
mmhh n und k.... die können doch auch unterschiedlich sein........
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
