matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionensymplektische Mannigfaltigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Funktionen" - symplektische Mannigfaltigkeit
symplektische Mannigfaltigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

symplektische Mannigfaltigkeit: Poissonstruktur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Mo 19.10.2015
Autor: Hias

Hallo,
eine Poissonstruktur auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit [mm] $(M,\Lambda)$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $$\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G), [/mm] $$ wobei [mm] $X_F$ [/mm] und [mm] $X_G$ [/mm] die Hamilton´schen Vektorfelder zu F und G sind.
Da [mm] $\Lambda$ [/mm] eine 2-Form ist, bedeutet das ja [mm] $\Lambda(X_F,X_G) \in \mathbb{R}$. [/mm] Meine Frage ist nun, ist die Poissonstruktur auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit die wie oben definiert ist immer eine konstante Funktion?
Danke im Voraus
Hias

        
Bezug
symplektische Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 20.10.2015
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo,
> eine Poissonstruktur auf einer symplektischen
> Mannigfaltigkeit [mm]$(M,\Lambda)$[/mm] ist gegeben durch
> [mm]\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G),[/mm] wobei [mm]$X_F$[/mm] und [mm]$X_G$[/mm] die
> Hamilton´schen Vektorfelder zu F und G sind.
> Da [mm]\Lambda[/mm] eine 2-Form ist, bedeutet das ja
> [mm]\Lambda(X_F,X_G) \in \mathbb{R}[/mm]. Meine Frage ist nun, ist
> die Poissonstruktur auf einer symplektischen
> Mannigfaltigkeit die wie oben definiert ist immer eine
> konstante Funktion?

Ja. Wobei interessant ist, was du hier als Funktion betrachtest. Denn an sich definierst du einfach nur die Poissonklammer mittels der symplektischen Form. Von daher wäre es wohl noch interessant zu wissen, was du genau unter "konstante Funktion" in diesem Kontext verstehst.

> Danke im Voraus
> Hias


Bezug
                
Bezug
symplektische Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Di 20.10.2015
Autor: Hias

Hallo und danke für deine Antwort,
meine Funktionen F und G sind aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$. [/mm] Was ich mir überlegt habe ist folgendes:
In die Poissonklammer [mm] $\{,\}$ [/mm]  stecke ich zwei Funtionen aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$ [/mm] und erhalte wieder eine Funktion aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$. [/mm] In die symplektische Struktur stecke ich zwei Tangentialvektoren von M an einem Gewissen Punkt [mm] $z\in [/mm] M$ und erhalte ein Skalar.
Also erhalte ich durch die Zuweisung $ [mm] \{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G)$, [/mm] dass [mm] $\Lambda(X_F,X_G)$ [/mm] eine Funktion auf der Mannigfaltigkeit M sein muss. Ist es möglich, die symplektische Stuktur $Lambda$ als Funktion auf dem Tangentialbündel $TM$ zu definieren?

Bezug
                        
Bezug
symplektische Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mi 21.10.2015
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo und danke für deine Antwort,
> meine Funktionen F und G sind aus [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm].
> Was ich mir überlegt habe ist folgendes:
> In die Poissonklammer [mm]\{,\}[/mm]  stecke ich zwei Funtionen aus
> [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm] und erhalte wieder eine Funktion aus
> [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm].

Hier müsste man sich aber fragen, wie du die Poissonklammer überhaupt definierst. Ich kenne nur die koordinatenfreie Definition über die symplektische Struktur. Diese ist schon sehr allgemein. Die bekannte Formel via den Ableitungen von F und G sind ja dann koordinatenbezogen.

> In die symplektische Struktur
> stecke ich zwei Tangentialvektoren von M an einem Gewissen
> Punkt [mm]z\in M[/mm] und erhalte ein Skalar.
> Also erhalte ich durch die Zuweisung
> [mm]\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G)[/mm], dass

Wie gesagt, für mich ist das schon die Definition der Poissonklammer.

Vielleicht hilft dir noch der Fakt, dass ja [mm] \Lambda [/mm] geschlossen ist, und daher an sich der Ausdruck konstant ist.

> [mm]\Lambda(X_F,X_G)[/mm] eine
> Funktion auf der Mannigfaltigkeit M sein muss. Ist es
> möglich, die symplektische Stuktur [mm]Lambda[/mm] als Funktion auf
> dem Tangentialbündel [mm]TM[/mm] zu definieren?

Die Vektorfelder leben ja auf $TM$ und die symplektische Struktur ist ja ebenfalls auf [mm] $TM\times [/mm] TM$ definiert. Also ist es ja gerade so, dass [mm] \Lambda [/mm] auf dem Tangentialbündel definiert ist.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]