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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - taylor
taylor < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Di 18.12.2007
Autor: toros

Aufgabe
[mm] F(\tau)=\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)} [/mm]

hallo,

ich will die funktion [mm] F(\tau) [/mm] für [mm] \tau \gg [/mm] 1 untersuchen. ich hab mir überlegt, dass man dafür für die exponential-funktion eine taylor-entwicklung macht (und die terme ab 2.ordnung vernachlässigt), so dass man

[mm] F(\tau)=\sqrt{\tau}\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{f(q)}\right)} [/mm]

erhält, da [mm] \left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)\approx\frac{2\tau}{f(q)} [/mm] ist.

ist meine überlegung bzw. meine rechnung richtig so??

danke!
gruss toros



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Di 18.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

>
> [mm]F(\tau)=\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)}[/mm]
>  
> hallo,
>  
> ich will die funktion [mm]F(\tau)[/mm] für [mm]\tau \gg[/mm] 1 untersuchen.
> ich hab mir überlegt, dass man dafür für die
> exponential-funktion eine taylor-entwicklung macht (und die
> terme ab 2.ordnung vernachlässigt), so dass man
>  
> [mm]F(\tau)=\sqrt{\tau}\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{f(q)}\right)}[/mm]
>  
> erhält, da [mm]\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)\approx\frac{2\tau}{f(q)}[/mm]
> ist.
>  
> ist meine überlegung bzw. meine rechnung richtig so??

Ja, das sieht gut aus. Es hängt von der Funktion f(q) ab, ob du das machen darfst. Letzten Endes ersetzt du die Klammer

[mm] \left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right) [/mm]

durch ihre Reihenentwicklung (das geht bei der Exponentialreihe immer) und vertauschst dann Integration und Reihenentwicklung. Letzteres ist nicht immer möglich: es kann zum Beispiel sein, dass die Integrale über die einzelnen Reihenglieder divergieren: Hier enthalten die restlichen Glieder der Reihe immer höhere Potenzen von [mm] \bruch{f(q)}{\tau} [/mm].

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Di 18.12.2007
Autor: toros

hi rainer,

die funktion lautet [mm] f(q)=\sqrt{48\sum_{j=1}^{5}\frac{\sin^2(qj/2)}{j^5}}. [/mm]

gruss toros

Bezug
                        
Bezug
taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Di 18.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

Diese Funktion scheint mir stetig und beschränkt zu sein, das sollte keine Probleme bereiten.

Die Nullstelle bei q=0 ist auch kein Problem, wegen des Sinusterms im Integral.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 18.12.2007
Autor: toros

hi,

hab die funktion numerisch ausgerechnet (mathematica). da kommt leider was komplexes raus. der wert der funktion ist [mm] F(\tau\gg 1)\approx(0.0973594-0.0973594i)\sqrt{\tau}. [/mm] es sollte aber was reelles rauskommen...

gruss toros

Bezug
                                        
Bezug
taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Di 18.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> hab die funktion numerisch ausgerechnet (mathematica). da
> kommt leider was komplexes raus. der wert der funktion ist
> [mm]F(\tau\gg 1)\approx(0.0973594-0.0973594i)\sqrt{\tau}.[/mm] es
> sollte aber was reelles rauskommen...

Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.

Also ich bekomme per Rombergintegration mit Maxima für die Wurzel den Wert 0,2782 heraus.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                
Bezug
taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Mi 19.12.2007
Autor: toros

hi,


> Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.

das ist doch auch der fall bei z.b.  [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) dx} [/mm] und trotzdem kommt was reelles heraus, oder versteh ich dich falsch?

> Also ich bekomme per Rombergintegration mit Maxima für die
> Wurzel den Wert 0,2782 heraus.

ich hab's mit romberg versucht und komm auch drauf. warum jetzt hier was reelles rauskommt, wenn man es näherungsweise berechnet, versteh ich allerdings nicht...

danke!
gruss toros



Bezug
                                                        
Bezug
taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Mi 19.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> hi,
>  
>
> > Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.
>  
> das ist doch auch der fall bei z.b.  
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) dx}[/mm] und trotzdem kommt was
> reelles heraus, oder versteh ich dich falsch?

Ich meine, dass etwas positiv Reelles rauskommen muss, und Mathematica was Falsches produziert. Ich tippe ja drauf, dass es von der hebbaren Singularität bei q=0 verwirrt wird. Ich musste bei Romberg auch mit sehr kleiner positiver unterer Grenze rechnen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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