taylorreihe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | berechnen sie für die fkt
f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, f(x,y)=x+xy^2
[/mm]
die terme der taylorformel für m=1 an der stelle [mm] \xi [/mm] =(0,0) mit dem restglied von lagrange [mm] R_1(\xi). [/mm] |
hallo,
kann jmd vielleicht kurz überprüfen ob ichs richtig hab? danke!
[mm] f(h_1,h_2)=\bruch{2+4\theta h_1h_{2}^2+2\theta h_1h_{2}^2}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 26.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wieso h1,h2 statt x,y?
2. das ist weder das Taylorpoynom 1. ten grades, noch das Restglied.
Schreibe bitte beides getrennt auf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
Hallo leduard,
> 1. wieso h1,h2 statt x,y?
naja, im skript ist halt im beispiel mit h1 und h2
> 2. das ist weder das Taylorpoynom 1. ten grades, noch das
> Restglied.
in der aufgabe steht noch in (): m=1 heißt, dass [mm] R_1(\xi) [/mm] partielle ableitungen 2. ordnung auftreten.
hab ichs falsch verstanden?
außerdem, ich dachte, hier ist die taylorreihe gefragt, weil in der aufgabe statt taylorpolynom taylorformel gefragt ist, oder sinds das selbe?
in meiner lösung gehört alles zum restglied außer 2, weil ich ja für x und y, die nicht zum restglied gehören, 0 einsetzen muss, oder ist das falsch?
> Schreibe bitte beides getrennt auf.
> Gruss leduart
>
danke!
ki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 26.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo leduard,
> > 1. wieso h1,h2 statt x,y?
> naja, im skript ist halt im beispiel mit h1 und h2
Aber in der Aufgabe steht [mm] $f(x,y)=x+xy^2$. [/mm] Deswegen ist die Notationsänderung von $x$ zu [mm] $h_1$ [/mm] bzw. $y$ zu [mm] $h_2$ [/mm] etwas irreführend.
> > 2. das ist weder das Taylorpoynom 1. ten grades, noch
> das
> > Restglied.
> in der aufgabe steht noch in (): m=1 heißt, dass [mm]R_1(\xi)[/mm]
> partielle ableitungen 2. ordnung auftreten.
Das ist richtig.
> hab ichs falsch verstanden?
Sieht ganz danach aus.
> außerdem, ich dachte, hier ist die taylorreihe gefragt,
> weil in der aufgabe statt taylorpolynom taylorformel
> gefragt ist, oder sinds das selbe?
Nein, ist es nicht. Siehe
![[]](/images/popup.gif) Taylorreihe
Taylor-Formel
Du benötigst von den Links die Taylor-Formel (im Mehrdimensionalen)! Siehe Dir dort einmal das Beispiel an und versuche dies an Deiner Funktion umzusetzen. Bestimme dazu das $1$-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle $a=(0,0)$ und das Restglied auf.
> in meiner lösung gehört alles zum restglied außer 2,
> weil ich ja für x und y, die nicht zum restglied gehören,
> 0 einsetzen muss, oder ist das falsch?
Verstehe ich nicht!
Viel Glück
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
> > > 1. wieso h1,h2 statt x,y?
> > naja, im skript ist halt im beispiel mit h1 und h2
>
> Aber in der Aufgabe steht [mm]f(x,y)=x+xy^2[/mm]. Deswegen ist die
> Notationsänderung von [mm]x[/mm] zu [mm]h_1[/mm] bzw. [mm]y[/mm] zu [mm]h_2[/mm] etwas
> irreführend.
>
> > > 2. das ist weder das Taylorpoynom 1. ten grades, noch
> > das
> > > Restglied.
> > in der aufgabe steht noch in (): m=1 heißt, dass
> [mm]R_1(\xi)[/mm]
> > partielle ableitungen 2. ordnung auftreten.
>
> Das ist richtig.
>
> > hab ichs falsch verstanden?
>
> Sieht ganz danach aus.
>
> > außerdem, ich dachte, hier ist die taylorreihe gefragt,
> > weil in der aufgabe statt taylorpolynom taylorformel
> > gefragt ist, oder sinds das selbe?
>
> Nein, ist es nicht. Siehe
>
> Taylorreihe
>
> Taylor-Formel
>
> Du benötigst von den Links die Taylor-Formel (im
> Mehrdimensionalen)! Siehe Dir dort einmal das Beispiel an
> und versuche dies an Deiner Funktion umzusetzen. Bestimme
> dazu das [mm]1[/mm]-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle
> [mm]a=(0,0)[/mm] und das Restglied auf.
>
aber aber hier:
https://matheraum.de/read?i=812687
das war doch ne ähnliche aufgabe, und da war taylorreihe gefragt, oder wars doch ne ganz andere aufgabe?
> > in meiner lösung gehört alles zum restglied außer 2,
> > weil ich ja für x und y, die nicht zum restglied gehören,
danke
ki
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Hallo kioto,
Das Taylorpolynom 1.Ordnung in [mm]\xi=(\xi_1,\xi_2)[/mm] der Fkt. [mm]f(x,y)[/mm] lautet ausgeschrieben und ohne Vektorpfeile:
[mm]T_1((x,y);(\xi_1,\xi_2))=f(\xi_1,\xi_2)+f_x(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)+f_y(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2)[/mm]
Mache dir klar, dass das so ist - vgl. dazu den Wikipedia-Artikel!
Und schreibe es dir mal bis zur Ordnung [mm]m=2[/mm] und [mm]m=3[/mm] auf.
Ist zwar etwas Schreibarbeit, aber dann ist dir ein für alle Mal klar, wie das Ding aussieht
Wie sieht es mit dem Restglied aus?
Dann mal los 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
habs jetzt so versucht wies im wikipedia steht (meine ich):
[mm] T_2(x,y)=f(0)+(\bruch{\partial}{\partial x}f(0) \bruch{\partial}{\partial y}f(0))\vektor{x-0 \\ y-0}+\bruch{1}{2}\vektor{x-0 \\ y-0}\pmat{ 0 & 2y \\ 2y & 2x }\vektor{x-0 \\ y-0}
[/mm]
hesse matrix hab ich einfach schon mal eingestippt, weil mit formel die ganze zeit nicht ging.....
dann hab ich am ende nur x raus, kann das sein?
danke
ki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
> hallo,
> habs jetzt so versucht wies im wikipedia steht (meine
> ich):
> [mm]T_2(x,y)=f(0)+(\bruch{\partial}{\partial x}f(0) \bruch{\partial}{\partial y}f(0))\vektor{x-0 \\ y-0}+\bruch{1}{2}\vektor{x-0 \\ y-0}\pmat{ 0 & 2y \\ 2y & 2x }\vektor{x-0 \\ y-0}[/mm]
>
> hesse matrix hab ich einfach schon mal eingestippt, weil
> mit formel die ganze zeit nicht ging.....
> dann hab ich am ende nur x raus, kann das sein?
>
> danke
> ki
1. Taylorpolynom in [mm] $\xi=(\xi_1,\xi_2)$:
[/mm]
$ [mm] T_1((x,y);(\xi_1,\xi_2))=f(\xi_1,\xi_2)+f_x(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)+f_y(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2) [/mm] $
2. Taylorpolynom in [mm] $\xi=(\xi_1,\xi_2)$: [/mm] (Dieses Polynom dient nur fuer Uebungszwecke und benoetigst Du fuer Deine eigentliche Aufgabe nicht!)
[mm] $T_2((x,y);(\xi_1,\xi_2))=f(\xi_1,\xi_2)+f_x(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)+f_y(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2) +f_{xx}(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)^2+f_{xy}(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)(y-\xi_2)+f_{yx}(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2)(x-\xi_1)+f_{yy}(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2)^2$
[/mm]
Wie du siehst, benoetigst Du die (partiellen) Ableitungen Deiner Funktion
[mm] $f:\IR^2\rightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=x+xy^2=x(1+y^2)$
[/mm]
Die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung sind durch
[mm] $f_x(x,y)=1+y^2$
[/mm]
[mm] $f_y(x,y)=2xy$
[/mm]
[mm] $f_{xx}(x,y)=0$
[/mm]
[mm] $f_{xy}(x,y)=2y$
[/mm]
[mm] $f_{yx}(x,y)=2y$
[/mm]
[mm] $f_{yy}(x,y)=2$
[/mm]
gegeben. Dein Entwicklungspunkt ist (siehe Aufgabenstellung) durch [mm] $\xi=(0,0)$ [/mm] gegeben. Damit muessen wir diese Terme nur noch in die obigen Formeln einsetzen und erhalten fuer das 1. Taylorpolynom
$ [mm] T_1((x,y);(0,0))=x$
[/mm]
und fuer das 2. Taylorpolynom
[mm] $T_2((x,y);(0,0))=x+2y^2$
[/mm]
Mache anhand des mehrdimensionalen Taylorpolynoms klar, wie wir die Darstellungen fuer [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] erhalten haben.
Frage an Dich: Wie sehen nun die Restglieder [mm] $R_1$ [/mm] bzw. [mm] $R_2$ [/mm] aus?
Viel Glueck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
vielen dank!
aber wo hab ich mit den zwei matrix falsch gemacht?
wär dann [mm] R_1(\xi)=\bruch{f^{1+1}(\xi)}{(1+1)!}\vektor{x-0 \\ y-0}^{1+1}?
[/mm]
also
[mm] =\bruch{1}{2!}*(0+0+2)(\xi)(weil [/mm] ich doch überall für x und y aus taylorpolynom 0 einsetzen muss oder [mm] nicht?)\vektor{x^2 \\ y^2}
[/mm]
)
kommt dann für [mm] R_1((x,y)(0,0))=\xi(x+y) [/mm] raus?
ki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo, ich hab hier noch ne frage,
2. Taylorpolynom in [mm]\xi=(\xi_1,\xi_2)[/mm]: (Dieses Polynom
> dient nur fuer Uebungszwecke und benoetigst Du fuer Deine
> eigentliche Aufgabe nicht!)
heißt das, für m=1 ist nur die taylorpolynom 1. ordnung gefragt, aber restglied 2. ordnung?
> [mm]T_2((x,y);(\xi_1,\xi_2))=f(\xi_1,\xi_2)+f_x(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)+f_y(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2) +f_{xx}(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)^2+f_{xy}(\xi_1,\xi_2)(x-\xi_1)(y-\xi_2)+f_{yx}(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2)(x-\xi_1)+f_{yy}(\xi_1,\xi_2)(y-\xi_2)^2[/mm]
>
> Wie du siehst, benoetigst Du die (partiellen) Ableitungen
> Deiner Funktion
>
> [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=x+xy^2=x(1+y^2)[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung sind durch
>
> [mm]f_x(x,y)=1+y^2[/mm]
> [mm]f_y(x,y)=2xy[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)=0[/mm]
> [mm]f_{xy}(x,y)=2y[/mm]
> [mm]f_{yx}(x,y)=2y[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y)=2[/mm]
>
> gegeben. Dein Entwicklungspunkt ist (siehe
> Aufgabenstellung) durch [mm]\xi=(0,0)[/mm] gegeben. Damit muessen
> wir diese Terme nur noch in die obigen Formeln einsetzen
> und erhalten fuer das 1. Taylorpolynom
>
> [mm]T_1((x,y);(0,0))=x[/mm]
>
> und fuer das 2. Taylorpolynom
>
> [mm]T_2((x,y);(0,0))=x+2y^2[/mm]
>
> Mache anhand des mehrdimensionalen Taylorpolynoms klar, wie
> wir die Darstellungen fuer [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] erhalten haben.
>
> Frage an Dich: Wie sehen nun die Restglieder [mm]R_1[/mm] bzw. [mm]R_2[/mm]
> aus?
>
> Viel Glueck
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Hallo kioto,
> hallo, ich hab hier noch ne frage,
>
> 2. Taylorpolynom in [mm]\xi=(\xi_1,\xi_2)[/mm]: (Dieses Polynom
> > dient nur fuer Uebungszwecke und benoetigst Du fuer Deine
> > eigentliche Aufgabe nicht!)
> heißt das, für m=1 ist nur die taylorpolynom 1. ordnung
> gefragt, aber restglied 2. ordnung?
>
Ja, für m=1 ist das Taylorpolynom 1. Ordnung anzugeben.
Das dazugehörige Restglied beinhaltet dann alle höhere Ordnungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
> > 2. Taylorpolynom in [mm]\xi=(\xi_1,\xi_2)[/mm]: (Dieses Polynom
> > > dient nur fuer Uebungszwecke und benoetigst Du fuer Deine
> > > eigentliche Aufgabe nicht!)
> > heißt das, für m=1 ist nur die taylorpolynom 1.
> ordnung
> > gefragt, aber restglied 2. ordnung?
> >
>
>
> Ja, für m=1 ist das Taylorpolynom 1. Ordnung anzugeben.
>
> Das dazugehörige Restglied beinhaltet dann alle höhere
> Ordnungen.
>
ahh......und wieso hab ich fürs restglied nur mit zweiter ableitung gerechnet?
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo kioto,
> hallo,
> > > 2. Taylorpolynom in [mm]\xi=(\xi_1,\xi_2)[/mm]: (Dieses Polynom
> > > > dient nur fuer Uebungszwecke und benoetigst Du fuer Deine
> > > > eigentliche Aufgabe nicht!)
> > > heißt das, für m=1 ist nur die taylorpolynom 1.
> > ordnung
> > > gefragt, aber restglied 2. ordnung?
> > >
> >
> >
> > Ja, für m=1 ist das Taylorpolynom 1. Ordnung anzugeben.
> >
> > Das dazugehörige Restglied beinhaltet dann alle höhere
> > Ordnungen.
> >
> ahh......und wieso hab ich fürs restglied nur mit zweiter
> ableitung gerechnet?
Weil die Ordnungen > 2 zur Ordnung 2 zusammengefaßt wurden.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
ich hattes doch richtig.....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hossa :)
Dein Restglied ist fast richtig. In deinem Fall gilt:
[mm] $R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(\Theta\vec h)+h_1h_2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(\Theta\vec h)+\frac{h_2^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(\Theta\vec [/mm] h)$
Wegen [mm] $f(x,y)=x+xy^2$ [/mm] gilt für die ersten partiellen Ableitungen:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=1+y^2\quad;\quad\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=2xy$
[/mm]
und für die benötigten zweiten partiellen Ableitungen:
[mm] $\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)=0\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=2y\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)=2x$
[/mm]
Das oben in das Restglied eingesetzt, ergibt:
[mm] $R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\cdot0+h_1h_2\cdot2\Theta h_2+\frac{h_2^2}{2}\cdot2\Theta h_1=3\Theta h_1h_2^2$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke danke!
aber warum gilt es hier nur in meinem fall? wird restglied für zweidimensionale fkt nicht immer so berechnet?
> Dein Restglied ist fast richtig. In deinem Fall gilt:
>
> [mm]R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(\Theta\vec h)+h_1h_2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(\Theta\vec h)+\frac{h_2^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(\Theta\vec h)[/mm]
>
> Wegen [mm]f(x,y)=x+xy^2[/mm] gilt für die ersten partiellen
> Ableitungen:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=1+y^2\quad;\quad\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=2xy[/mm]
>
> und für die benötigten zweiten partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)=0\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=2y\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)=2x[/mm]
>
> Das oben in das Restglied eingesetzt, ergibt:
>
> [mm]R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\cdot0+h_1h_2\cdot2\Theta h_2+\frac{h_2^2}{2}\cdot2\Theta h_1=3\Theta h_1h_2^2[/mm]
>
> Viele Grüße
>
> Hasenfuß
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Hossa :)
Natürlich hast du Recht. Das Restglied erster Ordnung einer zwei-dimensionalen Funktion wird immer so berechnet. Es kommen hier also zwei Dinge zusammen: (1) Das Restglied ist erster Ordnung und (2) die Funktion ist zwei-dimensional... Daher meine Einschränkung "in deinem Fall".
Viele Grüße
Hasenfuß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 27.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo, wollte noch fragen, woher diese formel kommt, weil in wikipedia stehts beim restglied unter taylorpolynom ja ganz anders aus, oder ist es nur weil die im wikipedia für 1.dimens. funktionen sind?
> Dein Restglied ist fast richtig. In deinem Fall gilt:
> >
> > [mm]R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(\Theta\vec h)+h_1h_2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(\Theta\vec h)+\frac{h_2^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(\Theta\vec h)[/mm]
>
> >
> > Wegen [mm]f(x,y)=x+xy^2[/mm] gilt für die ersten partiellen
> > Ableitungen:
> >
> > [mm]\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=1+y^2\quad;\quad\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=2xy[/mm]
>
> >
> > und für die benötigten zweiten partiellen Ableitungen:
> >
> > [mm]\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)=0\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=2y\quad;\quad\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)=2x[/mm]
>
> >
> > Das oben in das Restglied eingesetzt, ergibt:
> >
> > [mm]R_1(\Theta\vec h)=\frac{h_1^2}{2}\cdot0+h_1h_2\cdot2\Theta h_2+\frac{h_2^2}{2}\cdot2\Theta h_1=3\Theta h_1h_2^2[/mm]
>
danke!
ki
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Hossa :)
Ich bin Physiker, kein Mathematiker. Und da die Taylorreihe für Physiker sehr sehr wichtig ist, nutze ich eine etwas praxisgerechtere Merkregel für die Taylorreihe:
[mm] $f(\vec x+\Delta\vec x)=e^{\Delta\vec x\nabla}f(\vec [/mm] x)$
Darin ist [mm] $\vec [/mm] x$ die Stelle, um die entwickelt werden soll, [mm] $\Delta \vec [/mm] x$ die Abweichung von dieser Stelle und [mm] $\nabla$ [/mm] der Nabla-Operator. Mit dieser Merkregel kann man die Taylorreihe sofort hinschreiben:
[mm] $f(\vec x+\Delta\vec x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\sum_{i=1}^D\Delta x_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right) ^nf(\vec [/mm] x)$
wobei D die Dimension der Vektoren [mm] $\vec [/mm] x$ angibt. Wird die Talyorreihe nach dem n-ten Glied abgebrochen, erhält man das Lagrange-Restglied einfach als das nächstfolgende Glied:
[mm] $R_n(\vec x+\Delta\vec x)=\frac{1}{(n+1)!}\left(\sum_{i=1}^D\Delta x_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right) ^{n+1}f(\vec x+\Theta\cdot\Delta\vec x)\quad;\quad0\le\Theta\le1$
[/mm]
Im 1-dimensionalen Fall (D=1) reduziert sich das auf die Form:
[mm] $R_n(x+\Delta x)=\frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x+\Theta\cdot\Delta [/mm] x)$
Ersetzt du darin den Entwicklungspunkt $x$ durch $a$ und entsprechend [mm] $\Delta [/mm] x$ durch $(x-a$), erhälst du genau das, was bei wikipadia steht:
[mm] $R_n(x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)$
[/mm]
mit einem [mm] $\xi=a+\Theta(x-a)$ [/mm] zwischen $a$ und $x$, weil [mm] $\Theta\in[0;1]$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuß
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