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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 16.10.2012 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | "... We need only assume that K is a conjugacy class of p-elements of G, any two elements of K generate a p-subgroup, and K [mm] \not \subseteq O_p(G), [/mm] and derive a contradiction.
Let P be any Sylow p-subgroup of G. Then since <K> is not a p-group, K [mm] \not \subseteq [/mm] P. ..."
G bezeichnet die Gruppe
[mm] O_p(G) [/mm] bezeichnet die größte normale p-Gruppe von G. |
Hallo ich habe ein Problem mit obigem Text.
Woran liegt es denn das <K> keine p-Gruppe ist?
Für jeden Anstoß bin ich dankbar!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 17.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> "... We need only assume that K is a conjugacy class of
> p-elements of G, any two elements of K generate a
> p-subgroup, and K [mm]\not \subseteq O_p(G),[/mm] and derive a
> contradiction.
> Let P be any Sylow p-subgroup of G. Then since <K> is not
> a p-group, K [mm]\not \subseteq[/mm] P. ..."
>
> G bezeichnet die Gruppe
> [mm]O_p(G)[/mm] bezeichnet die größte normale p-Gruppe von G.
> Hallo ich habe ein Problem mit obigem Text.
> Woran liegt es denn das <K> keine p-Gruppe ist?
> Für jeden Anstoß bin ich dankbar!
Wenn mich nicht alles tauescht, ist [mm] $\langle [/mm] K [mm] \rangle$ [/mm] immer ein Normalteiler, wenn $K$ eine Konjugationsklasse ist: jedes Element ist ja ein Produkt aus Konjugierten von einem festen Element und deren Inversen. Konjugiert man ein solches Produkt, sind die Faktoren immer noch Konjugierte von dem festen Element bzw. Inverse davon. (Die Konjugationsabbildung ist ja ein Homomorphismus.)
Wenn also [mm] $\langle [/mm] K [mm] \rangle$ [/mm] eine $p$-Gruppe waer, so muesste [mm] $\langle [/mm] K [mm] \rangle \subseteq O_p(G)$ [/mm] sein und insbesondere $K [mm] \subseteq O_p(G)$.
[/mm]
LG Felix
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