them erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 09.02.2006 | | Autor: | Kulli |
| Aufgabe 1 | Ein Sportschütze gibt wiederholt 3 Schüsse auf ein Ziel ab. Erfahrungsgemäß trifft er bei jedem Schuß mit der Wahrscheinlichkeit 0,6.
Wie hoch ist die durchschnittliche Trefferzahl in solchen Dreierserien, wenn die einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind? |
| Aufgabe 2 | | Bei dem würfelspiel "Die böse Drei" ist der Einsatz 3DM. Dann werden 2 ideale Würfel geworfen. Fällt kenie "3" erhält der Spieler die Augensumme in DM ausbezahlt. Fällt mindestens einmal die "3", so muss er zu dem Einsatz noch die Augensumme in DM zahlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ( zu verlieren)? Ist das Spiel fair? |
Also zur 1. Aufgabe hätte ich jetzt 1*0,6+2*0,6+3*0,6 gerechnet.. aber das ist bestimmt eh falsch.
und bei der 2. Aufgabe hab ich gar keine ahnung wie ich da rangehen soll. Wär nett wenn mir jemand sagen könnte in welche richtung ich gehen muss oder so.. :-/
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Hallo Kulli,
Will dich informieren (oder daran errinern), dass es hier üblich ist bei deinen Fragen oder Mitteilungen einen kleinen Gruß zu geben ;)
Also, bei der ersten Aufgabe wird gefragt, wie oft das Ziel durchschnittlich in den Dreierserien getroffen wird (Trefferzahl). Nach deiner Rechnung ist das 1*0,6+2*0,6+3*0,6=3,6. In einer Serie schießt aber der Sportschützer nur 3 Mal!
Es handelt sich hier um Erwartungswert (dieser entsteht aus der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung), der nach der folgenden Formel berechnet wird: E(x)=n*p. Versuch mal jetzt diesen Erwartungswert (durchschnittliche Trefferzahl) zu errechnen.
Bei der zweiten Aufgabe werden 2 Würfeln geworfen. Wenn man einen Würfel wirft, gibt es 6 Möglichkeiten irgendeine Zahl zu bekommen. Wenn man aber zwei Würfeln wirft, dann hat man 6 Möglichkeiten bei einem Würfel und noch 6 Möglichkeiten bei dem anderen. Insgesamt, also 6*6=36 Möglichkeiten irgendeine Zahl zu werfen.
Uns interessiert die Zahl 3 oder keine Zahl 3 bei diesen Versuchen. Mit diesen ZWEI Würfeln mindestens einmal die 3 zu werfen heißt, entweder einmal, oder zweimal die 3 zu werfen. Und mit den ZWEI Würfeln keine 3 zu werfen heißt zweimal keine 3 zu werfen.
Bei EINEM Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit die 3 zu werfen P(3) = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit mit EINEM Würfel keine 3 zu werfen beträgt dann P(keine 3) = 1 - 1/6 = 5/6. Man bekommt beim Wurf mit zwei Würfeln einmal 3 erst dann, wenn ein von den Würfeln 3 Augen zeigt (P=1/6), der andere aber keine 3, also 1,2,4,5 oder 6 (P=5/6).
Die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit mindestens eine 3 zu werfen sieht so aus: P(mind. eine 3)= P(1 Mal 3) + P(2 Mal 3). Die Formel für die Berechcnng der Wahrscheinlichkeit keine 3 zu werfen: P(keine 3)=P(keine 3)*P(keine 3): Versuch mal jetzt dies auszurechnen. Hier bekommst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten des Gewinns und des Verlustes.
Wenn du dies ausgerechnet hast, versuch mal zu bestimmen welche Summen der Augenzahlen überhaupt auftreten können, wie diese Summen zusammengerechnet werden können und wie wahrscheinlich es ist, dass nähmlich diese Summen beim Wurf auftreten. Am besten stellt man hier eine Tabelle auf, bei der der jeweiligen Summe eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird.
Man kann z.B. 1 und 1 werfen. Dann hat man die Summe 2 und es besteht nur eine Möglichkeit von den 36 diese Summe zu werfen. Oder wenn man, z.B. 1 und 2 wirft, dann ist die Summe 3. Es gibt aber schon 2 Möglichkeiten diese Summe zu werfen: 1 und 2 oder 2 und 1. Man kann hier eine Tabelle aufstellen.
Der Anfang sieht so aus:
Summe: 2 3 ...... 12 (die höchste Summe: 6+6=12)
P(Summe): 1/36 2/36 ...... ....
Jetzt muss du versuchen zu bestimmen bei welchen Kombinationen von Augenzahlen die Augenzahl 3 auftritt und welche Summen kann man bekommen, die aus den Zahlen, von welchen eine 3 ist, zusammengerechnet wird.
Man kann z.B. 3 und 1 oder 1 und 3 werfen. Dann hat man die Summe 4, die man in wei Möglichkeiten bekommt. Man kann z.B. auch die Summe 9 bekommen, die sich aus 3 und 6 oder aus 6 und 3 zusammensetzt. Stell wieder eine Tabelle auf. Den Anfang zeig ich dir wieder:
Summe: 4 5 6 .......... 9
P(Summe):2/36 .............................
Versuch mal jetzt den jeweiligen Erwartungswert der zwei Tabellen auszurechnen. Dieser Erwartungswert zeigt dir, wieviel durchschnittlich man bei einem Wurf der Würfeln gewinnt (obere Tabelle) und wieviel man verliert (untere Tabelle). Nachdem du dies ausgerechnet hast ordne wieder diesen zwei Erwartungswerten die jeweilige Wahrscheinlichkeit mindestens eine 3 und keine 3 zu werfen zu (von oberen Berechnungen). Dann rechne wieder den Erwartungswert dieser neu enstandenen "kleinen Tabelle" und du bekommst die Antwort, die kleiner oder größer als 3 ist (bei mir ist sie größer als 3), was denn durchschnittlichen Gewinn zeigt. Anschließend siehst du, ob das Spiel fair ist.
Also, das ist ganz ausführlich hier und ein bischen kompliziert. Aber versuch mal alles ganz aufmerksam durchzulesen. Das ist meine erste Antwort auf eine Frage, deswegen kann sein, dass alles nicht 100% richtig ist. Wenn du was nicht verstehst oder Fehler gefunden hast, melde dich.
Mit freundlichen Grüßen
Emilis (Tevulytis)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 09.02.2006 | | Autor: | Kulli |
Hey!
Wow, erstmal danke für die Antwort  Beschreibung ist klasse, auch gut dass das so ausführlich ist und ist verständlich bis jetzt! Also nix von wegen erste Antwort und nicht gut genug oder so
Bei der ersten aufgabe zu n*p das ist doch dann einfach 3*0,6 = 1,8 oder hab ich das falsch verstanden??
und bei aufg. 2 hab ich:
P(min. eine 3)= (1/6 * 5/6) + (1/6 * 1/6)
für P(keine 3)= (5/6) * (5/6) = 25/36
für die erste tabelle habe ich dann:
bei 1-7 aufsteigend jeweils 1/36, dann 2/36 usw bis hin zu 6/36 und bei 8 fällts dann wieder auf 5/36 bis ghin zu 1/36 bei 12. sit das richtig?
bei der 2. tabelle habe ich
bei allen 2/36 ausser bei 6 da hab ich 1/36 da geht ja nur 3+3.
Für den Erwartungswert der 1. tabelle habe ich raus 167/18, also 9,27.
für den erwartungswert der 2,. tabelle habe ich 2 raus.
das mit den obigen zahlen gerechnet habe ich dann für tabelle 1 und min. eine 3 = 1,55 und keine 3 = 6,44 und für die 2 tabelle und mind. eine 3 = 0,333 und keine 3 = 1,3888
aber ich glaube bei diesem teil habe ich dich falsch verstanden und ab da komme ich nciht weiter.. also wäre leib wenn du mir noch einmal ein kelines stückchen helfen könntest!
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Hallo,
> Wow, erstmal danke für die Antwort Beschreibung ist
> klasse, auch gut dass das so ausführlich ist und ist
> verständlich bis jetzt! Also nix von wegen erste Antwort
> und nicht gut genug oder so
Freu mich!
> Bei der ersten aufgabe zu n*p das ist doch dann einfach
> 3*0,6 = 1,8 oder hab ich das falsch verstanden??
Du hast richtig verstanden.
> und bei aufg. 2 hab ich:
> P(min. eine 3)= (1/6 * 5/6) + (1/6 * 1/6)
> für P(keine 3)= (5/6) * (5/6) = 25/36
Richtig. Rechne bloß die P(mind. eine 3) zu Ende.
> für die erste tabelle habe ich dann:
>
> bei 1-7 aufsteigend jeweils 1/36, dann 2/36 usw bis hin zu
> 6/36 und bei 8 fällts dann wieder auf 5/36 bis ghin zu 1/36
> bei 12. sit das richtig?
Mit der Steigung und dem Fall denkst du richtig. ABER:
1) Die Summe 1 gibt es beim Wurf der zwei Würfeln nicht (mindestens 1+1=2). Also die Tabelle fängt bei 2 an.
2) Bei dieser Tabelle müssen die Wahrscheinlichkeiten, die den Summen mit einer oder zwei 3ern in sich zugeordnet werden, ausgeschlossen werden. Z.B. es gibt 6 Möglichkeiten die 7 zu bekommen. Die Wahrscheinlihckeiten der Möglichkeiten 3 4 und 4 3 müssen aber ausgeschlossen werden, da bei dieser Tabelle es sich nur um Gewinn (keine 3) handelt. Die anderen Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten 1 6, 6 1, 2 5, 5 2 bleiben. Also die 7 DM zu bekommen kann man mit der Wahrscheinlichkeit 4/36 (und nicht 6/36).
Genau so mit den anderen Summen (4,5,6,8,9), die mit einer bzw. zwei "3-Augen" zusammengerechnet werden können.
> bei der 2. tabelle habe ich
> bei allen 2/36 ausser bei 6 da hab ich 1/36 da geht ja nur
> 3+3.
Gut.
> Für den Erwartungswert der 1. tabelle habe ich raus 167/18,
> also 9,27.
Ich verstehe nicht ganz, wie du die 167 im Zähler bekommst. Versuch mal jetzt den Erwartungwert der neu aufgestellten Tabelle auszurechnen.
> für den erwartungswert der 2,. tabelle habe ich 2 raus.
Ich auch.
> das mit den obigen zahlen gerechnet habe ich dann für
> tabelle 1 und min. eine 3 = 1,55 und keine 3 = 6,44 und für
> die 2 tabelle und mind. eine 3 = 0,333 und keine 3 =
> 1,3888
Dies hab ich bei Dir auch nicht ganz verstanden.
> aber ich glaube bei diesem teil habe ich dich falsch
> verstanden und ab da komme ich nciht weiter.. also wäre
> leib wenn du mir noch einmal ein kelines stückchen helfen
> könntest!
Du muss hier die Erwartungwerte der beiden obigen Tabellen in eine neue Tabelle einsetzen und diesen ihre jeweilige Wahrscheinlihckeiten ("mind. eine 3" und "keine 3", also die des Verlustes und Gewinns), die Du schon ausgerechnet hast zuzuordnen. Danach wieder den Erwartungswert aus dieser neuen "kleinen" Tabelle ausrechnen und Du bekommst eine Zahl, die nicht viel weit von 3 (von dem einsatz in DM) entfernt sein sollte. Wenn diese Zahl größer als 3 ist, ist das Spiel für den Spieler fair (da er bekommt mehr als sein Einsatz, nämlich 3 DM). Und umgekehrt.
Also versuch mal auszurechenen. Dann vergleichen wir die Ergebnisse.
Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
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