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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Di 09.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | z.z.: Aquivalente Normen definieren die gleiche Topologie.
Zwei Normen [mm] ||·||_1 [/mm] und [mm] ||·||_2 [/mm] auf einem Vektorraum V heißen äquivalent, falls es Konstanten [mm] c,C\in R_{>0} [/mm] gibt mit:
c * [mm] ||x||_1 \le [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] C* [mm] ||x||_2 \forall x\in [/mm] V |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, irgendwie komme ich gerade nicht mal darauf, wie eine norm eine topologie definiert.
also demnach müsste der [mm] (V,T_1) [/mm] ein topolgischer raum sein wobei [mm] T_1=\{||x||_1 | x\in V\} [/mm] oder?
und [mm] (V,T_2) [/mm] ,wobei [mm] T_2=\{||x||_2 | x\in V\}
[/mm]
und jetzt muss man zeigen [mm] T_1=T_2, [/mm] also
[mm] \{||x||_1 | x\in V\} [/mm] =(zu zeigen) [mm] \{||x||_2 | x\in V\}
[/mm]
Bew:
Sei [mm] x\in [/mm] V
[mm] \Rightarrow ||x||_1\in T_1
[/mm]
z.z. [mm] ||x||_1 \in T_2
[/mm]
[mm] c*||x||_1\le ||x||_2 \gdw ||x||_1\le ||\bruch{x}{c}||_2
[/mm]
[mm] ||x||_2\le C*||x||_1 \gdw ||\bruch{x}{C}||_2\le ||x||_1 [/mm]
1.Fall: [mm] c\le [/mm] C
[mm] ||x||_1\le ||\bruch{x}{c}||_2 \ge ||\bruch{x}{C}||_2\le ||x||_1 [/mm]
[mm] \Rightarrow ||x||_1 =||\bruch{x}{c}||_2 [/mm] = [mm] ||\bruch{x}{C}||_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow ||x||_1 \in T_2 [/mm] da [mm] \bruch{x}{c} [/mm] aufgrund der abgeschlossenheit von V wieder in V ist und [mm] ||\bruch{x}{c}||_2 \in T_2
[/mm]
und das analog für den Fall 2: [mm] c\ge [/mm] C
ist das so richtig?
danke vielmals im voraus.. gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 09.05.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ari!
> also demnach müsste der $ [mm] (V,T_1) [/mm] $ ein topolgischer raum sein wobei $ [mm] T_1=\{||x||_1 | x\in V\} [/mm] $ oder?
> und $ [mm] (V,T_2) [/mm] $ ,wobei $ [mm] T_2=\{||x||_2 | x\in V\} [/mm] $
Nein, das ist nicht richtig. Schon deshalb nicht, da die Elemente von [mm] $T_1,T_2$ [/mm] i.A. keine Teilmengen von $V$, sondern reelle Zahlen sind.
Ist auf dem Vektorraum $V$ eine Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] definiert, dann wird durch sie eine Topologie auf $V$ induziert. In dieser Topologie sind die offenen Mengen genau die Vereinigungen von offenen Kugeln [mm] $B_{\epsilon}(x)=\{y\in V | \|x-y\|<\epsilon\}$ [/mm] (die offenen Kugel bilden eine Basis der Topologie).
So induziert die euklidische Norm [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] mit [mm] $\|(x,y)\|_2:=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] die natürliche Topologie auf [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Um zu zeigen, dass die von zwei äquivalenten Normen [mm] $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2$ [/mm] induzierten Topologien [mm] ${\cal O}_1, {\cal O}_2$ [/mm] gleich sind, musst du nun nachweisen (da war dein Ansatz schon richtig), dass jede offene Menge in [mm] ${\cal O}_1$ [/mm] auch offen in [mm] ${\cal O}_2$ [/mm] ist und umgekehrt.
Dabei ist es hilfreich zu sehen, dass für jede offene Menge [mm] $O\in {\cal O}_1$ [/mm] und jedes [mm] $x\in [/mm] O$ eine [mm] $\|\cdot\|_1$-Kugel [/mm] um $x$ gibt, die noch komplett in $x$ liegt (warum?). Zum Beweis von [mm] ${\cal O}_1\subset {\cal O}_2$ [/mm] ist es daher hinreichend zu zeigen, dass jede offene [mm] $\|\cdot\|_1$-Kugel [/mm] mit Mittelpunkt $x$ eine [mm] $\|\cdot\|_2$-Kugel [/mm] mit Mittelpunkt $x$ gibt, die in der ersten Kugel enthalten ist.
Seien also [mm] $x\in [/mm] V, [mm] \epsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Du musst nun ein [mm] $\delta$ [/mm] so finden, dass [mm] $\{y\in V|\|x-y\|_2<\delta\}\subset\{y\in V|\|x-y\|_1<\epsilon\}$ [/mm] ist; mit anderen Worten ein [mm] $\delta$, [/mm] für das mit [mm] $y\in [/mm] V$ und [mm] $\|x-y\|_2<\delta$ [/mm] auch [mm] $\|x-y\|_1<\epsilon$ [/mm] folgt. Schaffst du das unter Berücksichtigung der Voraussetzung?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Di 09.05.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal.. ich versuch die aufgabe bis heute abend oder morge zu lösen und geben dir dann wieder bescheid ok?
vielen dank nochmal :)
Gruß Ari
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 09.05.2006 | | Autor: | AriR |
ich hab mal versucht zu zeigen, dass [mm] T_1\subset T_2:
[/mm]
Sei [mm] T\in T_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Def.Top.) T ist offen [mm] \Rightarrow [/mm] Sei [mm] x\in, \exists \varepsilon>0: \{ v\in V | ||x-v||_1<\varepsilon\} \subset [/mm] T
[mm] \Rightarrow [/mm] (laut der ungleichung der [mm] \gdw [/mm] normen) [mm] \{v\in V | c * ||x-v||_2 \le ||x-v||_1<\varepsilon\}\subset [/mm] T
[mm] \Rightarrow \{v\in V | c * ||x-v||_2<\varepsilon\}\subset T_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (da c>0) [mm] \{v\in V | ||x-v||_2<\varepsilon\}\subset T_2
[/mm]
jetzt habe ich aber sozusagen nur gezeigt, dass wenn es eine offene Kugel in [mm] T_1 [/mm] gibt es eine immer eine kleine Kugel aus [mm] T_2 [/mm] gibt, die in [mm] T_1 [/mm] liegt, aber das ist sicher nicht ausreichen oder?
Gruß Ari
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Hallo Ari,
Ich ergänze mal das fehlende in Deiner Definition
Sei [mm]T\in T_1 \gdw \mbox{T offen in} T_1 \gdw \forall x\in T, \exists \varepsilon_1>0: \{ v\in V | ||x-v||_1<\varepsilon_1\} \subset T[/mm]
Am Ende Deiner Beweiskette sollte also stehen:
[mm]\forall x\in T, \exists \varepsilon_2>0: \{ v\in V | ||x-v||_2<\varepsilon_2\} \subset T \gdw T \in T_2[/mm]
Das kann man irgendwie noch nicht erkennen. Wenn z.B. die Bedeutung von Variablen wechselt ist das immer schlecht.
Du kannst Dich aber auch darauf beschränen zu zeigen das die 2 Topologieen die gleiche Basis haben.
viele Grüße
mathemaduenn
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