total-anisotrope symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 So 20.06.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo allezusammen. Ich hab' folgende Aufgabe:
Es seien V ein K-Vektorraum und [mm]\Phi:V\times V \rightarrow K[/mm] eine "total-anisotrope" symmetrische Bilinearform, d.h. für [mm]v\inV[/mm] \ [mm][0][/mm] gelte stets [mm]\Phi(v,v)\ne0.[/mm] Für [mm]0\ner\inV[/mm] sei [mm]w_r:V\rightarrowV[/mm] definiert durch [mm]w_r(v):=v-2\bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)}r[/mm] für [mm]v\inV[/mm]. Man zeige:
a) [mm]w_r\inO(\Phi)\ und\ w_r^2=id:V.[/mm]
b) [mm]w_r(v)=-v\ für\ v\in\left\langle r \right\rangle\ und\ e_r(v)=v\ für\ v\in\left\langle r \right\rangle^{\mbox{senkrecht }} [/mm]
c) Ist [mm]\phi\inO(\Phi)[/mm] beliebig, so gilt [mm]\phi°w_r°\phi^{-1}=w_{\phi(r)}[/mm] für [mm]0\ner\inV.[/mm]
Ich hab' hier keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll. Könntet ihr mir vielleicht bitte helfen?
Danke im voraus
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 So 20.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Nick,
der zweite Teil der a) und die b) sind relativ einfach (die anderen wahrscheinlich auch, aber da bin ich auch noch nicht auf den Trichter gekommen ^^; )
(Übrigens muss es beim ersten Teil der a) heissen: [mm] $w_{r} \in O(\Phi)$.)
[/mm]
Eigentlich musst Du nur die Abbildungsvorschrift ausführen und beachten, was gegeben ist, ich mache das beim zweiten Teil der a) mal vor, die b) schaffst Du dann bestimmt (naja, was heisst bestimmt, ich will ja kein Lehrer werden, keine Ahnung, wie ich erkläre ^^; ):
[mm] $w_{r}^{2}$ [/mm] bedeutet ja eigentlich [mm] $w_{r}°w_{r}(v)$, [/mm] also musst Du zeigen, dass eben dieses auf $v$ angewandt wieder $v$ ergibt.
Dann machen wir das mal:
Sei $v [mm] \in [/mm] V$, dann gilt
[mm] $w_{r}°w_{r}(v) [/mm] = [mm] w_{r}(v [/mm] - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r)$ =
$(v - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r) - 2 * [mm] \bruch{\Phi((v - 2 * \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} * r),r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r$ =
$(v - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r) - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r) - 2 * \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} * \Phi(r,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r$ =
$(v - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r) - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r) - 2 * \Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r$ =
$v - 2 * [mm] \bruch{\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r - 2 * [mm] \bruch{-\Phi(v,r)}{\Phi(r,r)} [/mm] * r$
= $v$
Soweit dazu, bei der b) musst Du einfach nur schauen, was $v [mm] \in [/mm] <r>$ bzw. $v [mm] \in [/mm] <r>^{senkrecht}$ für einen Teil der Abbildungsvorschrift bedeuten.
greetz
AT-Colt
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Hallo Nick!
Also, wie AT-Colt bereits schon erwähnt hat sind der zweite Teil von a) und Teil b) nicht sehr schwierig!
Zum ersten Teil kann ich Dir leider auch nicht weiterhelfen, ich weiss auch nicht, was man zeigen soll :-( !
Nun zu Teil c):
Ist [mm]\phi\inO(\Phi)[/mm] beliebig, so gilt
> [mm]\phi°w_r°\phi^{-1}=w_{\phi(r)}[/mm] für [mm]0\ner\inV.[/mm]
Werte die linke Seite einfach mal an der Stelle v aus, also:
[mm]\phi°w_r°\phi^{-1}(v)[/mm]
und wende dann nacheinander (von rechts nach links) die Hintereinanderausführung an.
Du wirst merken, dass Du nach wenigen Schritten zum Ziel gelangst!
Gruss,
Wurzelpi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Nick |
Jo danke Jungs, hab't mir echt geholfen.
Aber zu a) finde ich den ersten Teil nicht so trivial einfach. Ich weiß nämlich auch nicht wie ich das zeigen soll! AT-Colt könntest du mir das mal erklären, wie du das gemacht hast?!
Danke im voraus
Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 21.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Mittlerweile hab ich zum ersten Teil auch eine Lösung, ich versuche mal, Dir zu beschreiben, wie Du da drauf kommst:
Um zu zeigen, dass [mm] $w_{r} \in O(\Phi)$ [/mm] ist, muss Du zunächst zeigen, dass [mm] $w_{r}$ [/mm] linear ist, also, dass [mm] $w_{r}(s*v [/mm] + v') = [mm] s*w_{r}(v) [/mm] + [mm] w_{r}(v')$ [/mm] mit $s [mm] \in [/mm] K$, $v$,$v' [mm] \in [/mm] V$ beliebig gilt.
Dann (und das ist eigentlich das wichtigere, finde ich), musst Du zeigen, dass für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ gilt
[mm] $\Phi(w_{r}(v),w_{r}(w)) [/mm] = [mm] \Phi(v,w)$
[/mm]
Damit solltest Du das eigentlich recht schnell lösen können, ich möchte aber vielleicht noch erwähnen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] nach $K$ abbildet, d.h., wannimmer Du [mm] $\Phi(v,w)$ [/mm] da stehen hast, ist das ein ganz gewöhnlicher Skalar, den Du durch die Bilinearität rausziehen kannst, also z.B.
[mm] $\Phi(v [/mm] + [mm] \bruch{\Phi(v,w)}{\Phi(w,w)}*w, [/mm] w)$ $=$ [mm] $\Phi(v,w) [/mm] + [mm] \bruch{\Phi(v,w)}{\Phi(w,w)}*\Phi(w,w)$
[/mm]
So, jetzt habe ich Dir fast schon die Lösung für die Umformungen verraten.
greetz
AT-Colt
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