total diffbare Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 27.05.2009 | | Autor: | myoukel |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subseteq R^n [/mm] offen, F und G seien auf U definierte total differenzierbare Funktionen. Man beweise:
a) F+G ist total differenzierbar
b) F ist stetig |
zu a): eine Funktion ist ja total differenzierbar, wenn in allen Punkten, alle partiellen ableitungen existieren. Kann ich dann wie folgt argumentieren???
F ist total diffbar auf U, also existieren in allen x [mm] \in [/mm] U alle partiellen ableitungen.
G ist auch total diffbar auf U, also existieren auch hier alle partiellen ableitungen.
[mm] \Rightarrow [/mm] F+G ist die Summe der beiden funktionen, also existieren auch hier alle partiellen ableitungen für alle x [mm] \in [/mm] U (Summenregel), also ist F+G auch total diffbar auf U
b) sind die partiellen ableitungen stetig auf U, dann ist die funktion total diffbar!
[mm] \Righarrow [/mm] im umkehrschluss muss F stetig sein, da F total diffbar ist (richtig?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei U [mm]\subseteq R^n[/mm] offen, F und G seien auf U definierte
> total differenzierbare Funktionen. Man beweise:
> a) F+G ist total differenzierbar
> b) F ist stetig
> zu a): eine Funktion ist ja total differenzierbar, wenn in
> allen Punkten, alle partiellen ableitungen existieren.
Das ist falsch !
FRED
> Kann
> ich dann wie folgt argumentieren???
>
> F ist total diffbar auf U, also existieren in allen x [mm]\in[/mm] U
> alle partiellen ableitungen.
> G ist auch total diffbar auf U, also existieren auch hier
> alle partiellen ableitungen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] F+G ist die Summe der beiden funktionen, also
> existieren auch hier alle partiellen ableitungen für alle x
> [mm]\in[/mm] U (Summenregel), also ist F+G auch total diffbar auf U
>
> b) sind die partiellen ableitungen stetig auf U, dann ist
> die funktion total diffbar!
>
> [mm]\Righarrow[/mm] im umkehrschluss muss F stetig sein, da F total
> diffbar ist (richtig?)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 27.05.2009 | | Autor: | myoukel |
hast du denn einen hinweis wie ich das sonst angehen könnte? und aufgabenteil b auch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist $ [mm] U\subset\IR^n [/mm] $ offen, so heißt $ [mm] F:U\to\IR^m [/mm] $ in $ [mm] x_0\in [/mm] U $ (total) differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung $ [mm] A:\IR^n\to\IR^m [/mm] $ gibt sodass $ [mm] F(x_0+h)=F(x)+Ah+RF(x_0,h) [/mm] $ mit $ [mm] RF(x_0,h)\in [/mm] o(|h|) $ für $ [mm] h\to [/mm] 0 $, was bedeutet dass $ [mm] \lim_{h\to 0}\frac{RF(x_0,h)}{\|h\|}=0 [/mm] $ ist
Entspr.:
$ [mm] G:U\to\IR^m [/mm] $ in $ [mm] x_0\in [/mm] U $ (total) differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung $ [mm] B:\IR^n\to\IR^m [/mm] $ gibt sodass $ [mm] G(x_0+h)=G(x)+Ah+RG(x_0,h) [/mm] $ mit $ [mm] RG(x_0,h)\in [/mm] o(|h|) $ für $ [mm] h\to [/mm] 0 $, was bedeutet dass $ [mm] \lim_{h\to 0}\frac{RG(x_0,h)}{\|h\|}=0 [/mm] $ ist
Was wird nun wohl für F+G in [mm] x_0 [/mm] gelten ?
FRED
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