totale Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei B [mm] \subset \IR^{m} [/mm] eine offene teilmenge [mm] f,g:\IR^{m}--> \IR^{n} [/mm] zwei Abbildungen [mm] \lambda \in \IR [/mm] eine reelle Zahl und [mm] a\in [/mm] B.
a) Ist f ind a differenzierbar so ist auch [mm] \lambda*f [/mm] in a differenzierbar mit
[mm] D(\lambda [/mm] *f)(a)= [mm] \lambda*D(f(a))
[/mm]
b) wenn f und g in a differenzierbar sind, dann ist auch die Su7mme f+g in a differenzierbar
D(f+g) = Df(a)+Dg(a)
c) Es gelte n=1 und f und g seinen in a differenzierbar. Formulieren und beweise sie die Produktregel für Grad(f*g) |
Sei [mm] a\inB. [/mm] Eine funktion f heißt total differenzierbar falls eine lin Abbildung [mm] L:\IR^{m}-->\IR^{n} [/mm] und eine lin Abbildung r:B--> [mm] \IR^{n} [/mm]
so dass gilt :
f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x) [mm] x\in [/mm] B
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{||x-a||}=0
[/mm]
das ist das einzige was ich zum thema totale Ableitung habe.
Ich komm mit dem thema gar nicht mehr mit und es wär echt super wenn mir jemand mit hilfe der Aufgaben das thema etwas erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mo 12.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Ayame,
> Es sei B [mm]\subset \IR^{m}[/mm] eine offene teilmenge
> [mm]f,g:\IR^{m}--> \IR^{n}[/mm] zwei Abbildungen [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> eine reelle Zahl und [mm]a\in[/mm] B.
>
> a) Ist f ind a differenzierbar so ist auch [mm]\lambda*f[/mm] in a
> differenzierbar mit
> [mm]D(\lambda[/mm] *f)(a)= [mm]\lambda*D(f(a))[/mm]
>
> b) wenn f und g in a differenzierbar sind, dann ist auch
> die Su7mme f+g in a differenzierbar
> D(f+g) = Df(a)+Dg(a)
>
> c) Es gelte n=1 und f und g seinen in a differenzierbar.
> Formulieren und beweise sie die Produktregel für
> Grad(f*g)
> Sei [mm]a\inB.[/mm] Eine funktion f heißt total differenzierbar
> falls eine lin Abbildung [mm]L:\IR^{m}-->\IR^{n}[/mm] und eine lin
> Abbildungr:B --> [mm]\IR^{n}[/mm]
> so dass gilt :
> f(x)-f(a)=L(x-a)+r(x) [mm]x\in[/mm] B
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{||x-a||}=0[/mm]
Die Abbildung [mm] r:B --> \IR^{n}[/mm] muss nicht linear sein.
Grob gesprochen ist "total differenzierbar" die Übertragung von "differenzierbar" ins mehrdimensionale.
In der Aufgabe sind f und g als total differenzierbar vorausgesetzt. Mit Hilfe der Definition kann die Linearität von D nachgeprüft werden. ( a) und b) )
>
> das ist das einzige was ich zum thema totale Ableitung
> habe.
>
> Ich komm mit dem thema gar nicht mehr mit und es wär echt
> super wenn mir jemand mit hilfe der Aufgaben das thema
> etwas erklären könnte.
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Ayame |
also muss ich zeigen D(f+g)(a)=(f+g)(x)-(f+g)(a)=L(x-a)+r(x)=Dg(a)+Df(a)
Aber wie kann ich denn die gelichheit zeigen ?
Mir fehlt da einiges an wissen.
was ist denn genau L und r nach meiner aufgabenstellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 12.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Ayame,
> also muss ich zeigen
> D(f+g)(a)=(f+g)(x)-(f+g)(a)=L(x-a)+r(x)=Dg(a)+Df(a)
ja, D(f+g)(a)=Dg(a)+Df(a) ist zu zeigen. Davor noch, dass f+g total differenzierbar ist an der Stelle a.
>
> Aber wie kann ich denn die gelichheit zeigen ?
> Mir fehlt da einiges an wissen.
> was ist denn genau L und r nach meiner aufgabenstellung?
>
Da g und f total differenzierbar sind in a, gibt es lineare Abbildungen [mm] $L_{f}$ [/mm] und [mm] $L_{g}$ [/mm] und Abbildungen [mm] $r_{f}$ [/mm] und [mm] $r_{g}$ [/mm] mit den Eigenschaften aus der Definition. (Ansonsten weis man nichts über sie, wie ja auch nicht über f und g). Du solltest also versuchen [mm] $L_{f+g}$ [/mm] und [mm] $r_{f+g}$ [/mm] mit ihrer Hilfe auszudrücken und ihre Eigenschaften daraus herzuleiten.
Gruß meili
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