totale Ableitung/Jacobimatrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 24.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Vorbemerkung: diese Aufgabe hat genau eine richtige Antwort)
Sei f [mm] \in C^3 [/mm] (U, [mm] \IR^3) [/mm] mit U [mm] \subset \IR^4 [/mm] offen. Dann ist die (totale) Ableitung von f in x [mm] \in [/mm] U:
- in [mm] \IR [/mm]
- in [mm] \IR^4
[/mm]
- in [mm] \IR^3
[/mm]
- in Mat (3 [mm] \times [/mm] 4; [mm] \IR)
[/mm]
- in Mat (4 [mm] \times [/mm] 3; [mm] \IR) [/mm] |
Hallo zusammen,
an diese Aufgabe bin ich folgendermaßen herangegangen:
die totale Ableitung ist in dem Fall die Jacobimatrix. Also muss es schonmal eine der beiden letzten Antwortmöglichkeiten sein.
Sei f [mm] \in C^3 [/mm] (U, [mm] \IR^3) [/mm] mit U [mm] \subset \IR^4 [/mm] offen bedeutet doch, dass man in f 4 Variablen einsetzt und [mm] \IR^3 [/mm] rechts in der Klammer bedeutet, dass die Funktionswerte nur noch von 3 Variablen abhängig sind, oder? Also f(x,y,z, v) =
Das [mm] C^3 [/mm] bedeutet, dass die Funktion 3 mal stetig differenzierbar ist, also dass man sie nach 3 von den 4 Variablen partiell Ableiten kann bzw. dass diese ERSTEN partiellen Ableitungen für 3 Variablen existieren.
Die Jacobimatrix hat ja folgende Form:
Jf = Df = grad f = [mm] \vektor{grad f_1 \\ ... \\ grad f_n}.
[/mm]
In diesem Fall hat sie 3 Spalten, da sie nach 3 Variablen partiell diff.bar ist. Daraus folgt, dass sie 4 Zeilen haben muss also [mm] f_n [/mm] = [mm] f_4, [/mm] weil "Mat (4 [mm] \times [/mm] 3; [mm] \IR)" [/mm] die einzige Antwortmöglichkeit ist, die dafür passt. ^^ Aber so könnte ich das aus der Angabe NICHT herauslesen, oder??? denn das ist doch unabhängig sowohl von der Anzahl der Variablen als auch von der Anzahl, wie oft f stetig diff.bar ist.
[mm] \pmat{ \bruch{\partial f_1}{\partial x} & \bruch{\partial f_1}{\partial y} & \bruch{\partial f_1}{\partial z} \\ \bruch{\partial f_2}{\partial x} & \bruch{\partial f_2}{\partial y} & \bruch{\partial f_2}{\partial z}\\ \bruch{\partial f_3}{\partial x} & \bruch{\partial f_3}{\partial y} & \bruch{\partial f_3}{\partial z} \\ \bruch{f_4}{\partial x} & \bruch{\partial f_4}{\partial y} & \bruch{\partial f_4}{\partial z} }
[/mm]
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur Begriffsklärung:
Du hat $f:U [mm] \to \IR^3$ [/mm] und $ U [mm] \subseteq \IR^4$ [/mm] und $f [mm] \in C^3(...)$
[/mm]
Somit hat f die Gestalt $f= [mm] (f_1,f_2,f_3)$ [/mm] und ist eine Funktion von 4 Variablen
$f [mm] \in C^3(...)$ [/mm] bedeutet: f besitzt partielle Ableitungen nach allen Var. bis zur Ableitungsordnung 3 und all diese Ableitungen sind stetig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mo 25.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Okay, danke für die Antwort, da hatte ich wohl etwas durcheinandergeworfen...
Dann ist doch aber die Lösung eine 3 [mm] \times [/mm] 4 - Matrix, da man ja in dem Vektor [mm] \vektor{grad f_1 \\ ... \\ grad f_n}, [/mm] also hier [mm] \vektor{grad f_1 \\ grad f_2 \\ grad f_3} [/mm] hat. In der Jacobi-Matrix stehen nur die 1.Ableitungen * deswegen interessiert es uns hier garnicht, bis zur wievielten Ordnung man die Variablen differenzieren kann, nur, dass die 1.partielle Ableitung jeweils existiert.
Der Grund dafür, dass ich ein bisschen verwirrt war, war der, dass ich genau das (3 [mm] \times [/mm] 4 -Matrix) in der Klausur angekreuzt hatte (weil ich das eigentlich auch so gedacht habe, wie du grade gezeigt hast, dass es so ist. Das wurde aber als falsch angestrichen und das "N" (für Nein), das ich beim 4 [mm] \times [/mm] 3 Matrix- Kästchen gemacht hatte, auch als falsch angestrichen wurde. [mm] \Rightwarrow [/mm] Ein Korrekturfehler...??
lG
*(und nach Def. ist die totale Ableitung doch die Jacobimatrix, es müssen die ersten partiellen Ableitungen nach allen Variablen existieren, diese stehen für jede Komponente von f [mm] (f_1,...f_n) [/mm] in den Zeilenvektoren grad [mm] f_1 [/mm] bis grad [mm] f_n [/mm] nebeneinander.Damit ergibt sich in diesem Fall eine 3 [mm] \times [/mm] 4 Matrix. )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
3x4 Matrix ist auf jeden Fall richtig. Etwas unglücklich formuliert ist die Frage aber schon, denn die totale Ableitung in einem Punkt ist eigentlich definiert als eine lineare Abbildung von (in diesem Fall) [mm] $\IR^4$ [/mm] nach [mm] $\IR^3$. [/mm] Die Jacobimatrix ist dann lediglich die Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung bzgl. der kanonischen Standartbasen, aber man hätte ja auch andere Basen wählen können. Der feine aber in meinen Augen wichtige Unterschied ist eben, dass die totale Ableitung koordinatenunabhängig definiert ist, d.h. man braucht nichts über Basen und Matrizen zu wissen um sie zu definieren und damit zu rechnen. (Falls ihr die totale Matrix einfach als Jacobimatrix eingeführt habt wie es den Anschein hat, dann ignorier am besten was ich darüber gesagt habe...)
Gruß, Robert
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