totale Differenzierbarkeit < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | wewise |
| Aufgabe | Seien u: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und [mm] v:=\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] jeweils total differenzierbar. Betrachten Sie:
G: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR: [/mm] G(x,y):=u(x,y,v(x,y)).
a) Zeigen Sie: G ist auf [mm] \IR^2 [/mm] total differenzierbar.
b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen [mm] \bruch {\partial G}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial G}{\partial y} [/mm] . |
Ist G(x,y):=u(x,y,v(x,y)) einfach eine Komposition u°v oder wie soll ich die Funktion betrachten? weil ich da halt nicht weiß, wie ich dann zeigen soll, dass G total differenzierbar ist. Also im Grunde genommen, weiß ich einfach nicht, wie ich dieses G(x,y) betrachten soll... wie man partiell ableitet und totale Differenzierbarkeit zeigt, weiß ich eigentlich...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo wewise,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien u: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] und [mm]v:=\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] jeweils total
> differenzierbar. Betrachten Sie:
> G: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR:[/mm] G(x,y):=u(x,y,v(x,y)).
> a) Zeigen Sie: G ist auf [mm]\IR^2[/mm] total differenzierbar.
> b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen [mm]\bruch {\partial G}{\partial x}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial G}{\partial y}[/mm] .
> Ist G(x,y):=u(x,y,v(x,y)) einfach eine Komposition u°v
> oder wie soll ich die Funktion betrachten? weil ich da halt
> nicht weiß, wie ich dann zeigen soll, dass G total
> differenzierbar ist. Also im Grunde genommen, weiß ich
> einfach nicht, wie ich dieses G(x,y) betrachten soll... wie
> man partiell ableitet und totale Differenzierbarkeit zeigt,
> weiß ich eigentlich...
[mm]G\left(x,y\right)[/mm] ist keine Komposition [mm]u\circ v[/mm].
Hier wurde aus der Funktion u, die von 3 Variablen (x,y,z) abhängig ist,
durch die Definition
[mm]z:=v\left(x,y\right)[/mm]
eine Funktion von nur 2 abhängigen Variablen gemacht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mi 27.05.2009 | | Autor: | wewise |
ok, dann hab ich doch nochmal eine frage zur totalen differenzierbarkeit. ich hätte die ja sonst dadurch gezeigt, dass bei der totalen diffbarkeit alle partiellen ableitungen stetig sind... aber bringt mir das jetzt überhaupt was, nich oder? oder kann ich davon ausgehen, dass weil u und v total diffbar sind, dass dann G sowieso total diffbar ist, weil es ja aus u und v besteht!? und sowieso, wie kann ich das "mathematisch" erklären?
und die partiellen ableitungen... kann ich die total stur (wie immer) machen, oder muss ich dann auch noch was beachten? also ganz primitiv wäre ja [mm] \bruch{\partial G}{\partial x}=\bruch{\partial u}{\partial x}=(1,0, \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] ). aber das geht so bestimmt auch nicht, oder? also so richtig kann ich mit dieser funktion G nichts anfangen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sagt Dir der Begriff "Kettenregel" etwas ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 27.05.2009 | | Autor: | wewise |
äh ja, die für totale ableitungen dann sicherlich, oder? oder meinst du nur die einfache: innere*äußere ableitung?
Kettenregel für die totale Ableitung:
Sei f total diffbar in a ∈ U mit der totalen Ableitung A ∈ L( [mm] \IR^n, \IR^m [/mm] ) und g total diffbar in b := f( a ) ∈ V mit der totalen Ableitung B ∈ L( [mm] \IR^m,\IR^k [/mm] ). Dann ist g ◦ f total diffbar in a ∈ U mit der totalen Ableitung B ◦ A ∈ L( [mm] \IR^n,\IR^k [/mm] ).
aber ne... das hilft mir auch nicht weiter :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> äh ja, die für totale ableitungen dann sicherlich, oder?
> oder meinst du nur die einfache: innere*äußere ableitung?
> Kettenregel für die totale Ableitung:
> Sei f total diffbar in a ∈ U mit der totalen
> Ableitung A ∈ L( [mm]\IR^n, \IR^m[/mm] ) und g total diffbar
> in b := f( a ) ∈ V mit der totalen Ableitung B
> ∈ L( [mm]\IR^m,\IR^k[/mm] ). Dann ist g ◦ f total
> diffbar in a ∈ U mit der totalen Ableitung B ◦
> A ∈ L( [mm]\IR^n,\IR^k[/mm] ).
>
> aber ne... das hilft mir auch nicht weiter :P
Wieso nicht ? Damit hast Du doch Teil a) erledigt und die Ableitung von G kannst Du damit auch berechnen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 27.05.2009 | | Autor: | wewise |
Also sind u und v mein g und f aus der definition:
Seien nun U ⊂ [mm] \IR^3 [/mm] und V ⊂ [mm] \IR^2 [/mm] offene Mengen. Ferner seien u : U → [mm] \IR [/mm] und v : V → [mm] \IR [/mm] Abbildungen mit u(U) ⊂ V , so daß die Komposition v ◦ u : U → [mm] \IR [/mm] gebildet werden kann.
Sei u total diffbar in a [mm] \in [/mm] U mit der totalen Ableitung A ∈ L( [mm] \IR^3,\IR^2 [/mm] ) und v total diffbar in b := f( a ) ∈ V mit der totalen Ableitung B ∈ L( [mm] \IR^2,\IR [/mm] ). Dann ist v ◦ u total diffbar in a ∈ U mit der totalen Ableitung B ◦ A ∈ L( [mm] \IR^3,\IR).
[/mm]
so.. ich schätze, da hab ich paar sachen durcheinander gebracht, weil G ja auf [mm] \IR^2 [/mm] total diffbar sein soll!?
oha, ich blick da überhaupt nich mehr durch...
und bei b) hab ich noch weniger ahnung....
ich schreck einfach zu doll vor dieser gruseligen funktion G zurück...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze $w(x,y)=(x,y,v(x,y))$
Da v total dff.bar ist, ist es auch w
Es ist $G(x,y) = u(w(x,y))$ also $G = u [mm] \circ [/mm] w$
Da u und w total diffbar sind, ist es auch G
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 27.05.2009 | | Autor: | wewise |
ohja... das klingt schon etwas schlauer :D
hab mich schon gewundert, warum u°v jetzt doch richtig sein sollte....
und das soll ich nun irgendwie auf b) anwenden... hmmm.... ist das nicht trotzdem innere*äußere ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach der Kettenregel ist:
$ [mm] G_x(x,y) [/mm] = [mm] u_x(x,y,v(x,y))*1+u_y(x,y,v(x,y))*0+u_z(x,y,v(x,y))*v_x(x,y) [/mm] = [mm] u_x(x,y,v(x,y))+u_z(x,y,v(x,y))*v_x(x,y)$
[/mm]
und
$ [mm] G_y(x,y) [/mm] = [mm] u_x(x,y,v(x,y))*0+u_y(x,y,v(x,y))*1+u_z(x,y,v(x,y))*v_y(x,y) [/mm] = [mm] u_y(x,y,v(x,y))+u_z(x,y,v(x,y))*v_y(x,y)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 27.05.2009 | | Autor: | wewise |
aaaaaaaaaaaaaha...
naja, ich finde, es kommt schon relativ nah an meine idee ran :D
ich kann mich nur einfach nicht mathematisch genug ausdrücken...
danke!!!
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