totale differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe ein paar Fragen zwischen den Zusammenhängen von totaler Differenzierbarkeit, Stetigkeit und part. Differenzierbarkeit.
Und zwar:
Wir haben in unserem Skript festgehalten:
f stetig partiell diffbar => f total diffbar.
(das heißt ja: f diffbar und die Ableitungen sind stetig => f ist total diffbar)
weiter heißt es:
f total diffbar => f ist stetig.
f total diffbar => f ist part. diffbar.
An anderer Stelle haben wir notiert, f kann part. diffbar sein, muss allerdings nicht stetig sein.
Nun meine Frage:
Wenn aus totaler diffbarkeit die Stetigkeit folgt sowie wenn aus totaler diffbarkeit part. diffbarkeit folgt, warum folgt dann aus totaler diffbarkeit nicht stets stetigkeit und part. diffbarkeit (und damit auch umgekehrt wie oben bereits erwähnt)?
Mit anderen Worten:
Wenn f stetig partiell diffbar ist, dann folgt f ist total diffbar.
Wenn f total diff.bar ist und daraus folgt dass f stetig und part. diffbar ist, warum ist dies keine Äquivalenzaussage?
Ich drehe mich da aktuell einfach nur noch im Kreis...
Ich hier nicht nach einem Beweis, sondern möcht einfach nur die Zusammenhänge erstmal sauber verstehen.
Viele Grüße
mathelernender
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Hiho,
du verwechselst "stetig und partiell diffbar" mit "stetig partiell diffbar"
Ersteres heißt: "f ist stetig und partiell diffbar"
Zweiteres heißt: "f ist partiell diffbar und die partiellen Ableitungen sind stetig"
Zweiteres sagt also nichts über die Stetigkeit von f aus, sondern nur über die partiellen Ableitungen.
Und da f eben auch unstetig und partiell diffbar sein kann....
Gruß,
Gono
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Hi,
danke für Deine Antwort - wie einfach die Welt doch auch manchmal sein kann...
Mit anderen Worten:
Wenn f total diffbar, dann ist f stetig und f ist partiell diff.bar.
Wenn man ein solches f hat, dann gilt das auch andersrum, ja?
Allerdings kann es auch Funktionen g geben, die partiell diffbar sind, die stetig sind, aber eben deren partielle Ableitungen nicht stetig sind und daher NICHT total diffbar sind, ja?
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Hiho,
> Mit anderen Worten:
> Wenn f total diffbar, dann ist f stetig und f ist partiell diff.bar.
Ja.
> Wenn man ein solches f hat, dann gilt das auch andersrum,
> ja?
Nein! Warum sollte das gelten?
Die Rückrichtung gilt eben nur, wenn die partiellen Ableitungen von f stetig sind.
> Allerdings kann es auch Funktionen g geben, die partiell
> diffbar sind, die stetig sind, aber eben deren partielle
> Ableitungen nicht stetig sind und daher NICHT total diffbar
> sind, ja?
Das "daher" ist etwas fehl am Platz.
Korrekt wäre: Die dann nicht total diffbar sein müssen!
So eine Funktion g kann gleichzeitig auch total differenzierbar sein.
Sie muss aber nicht.
Gruß,
Gono
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So ganz warm bin ich damit dann doch noch nicht offensichtlich - manchmal ist es echt furchtbar.
Nochmal anders:
Wenn ich eine Funktion habe, die partiell diffbar ist, aber nicht stetig. Dann ist diese nicht total diffbar. Soweit korrekt? (Zumindest habe ich eine Musterlösung zu einer Aufgabe von einer anderen Uni im Netz gefunden, die das besagt)
> Das "daher" ist etwas fehl am Platz. Korrekt wäre: Die dann nicht total diffbar > sein müssen!
Warum ist das daher etwas fehl am Platz bei der Aussage? Wenn partielle diffbarkeit gegeben ist, die Ableitungen aber nicht stetig sind, dann ist das doch der Grund, warum die nicht total diffbar ist, oder?
Sorry wenn ich nochmal weiter "bohre", aber irgendwann muss ich damit ja mal warm werden...und wer nicht fragt...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mi 03.02.2016 | | Autor: | chrisno |
Mal schnell aus Wikipedia:
1 Total differenzierbare Funktionen sind stetig.
2 Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
3 Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
4 Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.
> .....
> Wenn ich eine Funktion habe, die partiell diffbar ist, aber
> nicht stetig.
Meinst Du nun stetig oder stetig differenzierbar?, egal wie:
> Dann ist diese nicht total diffbar. Soweit
> korrekt? (Zumindest habe ich eine Musterlösung zu einer
> Aufgabe von einer anderen Uni im Netz gefunden, die das
> besagt)
3. "nicht notwendigerweise", das lässt die Möglichkeit offen, dass sie dennoch total differenzierbar ist.
>
> > Das "daher" ist etwas fehl am Platz. Korrekt wäre: Die
> dann nicht total diffbar > sein müssen!
>
> Warum ist das daher etwas fehl am Platz bei der Aussage?
> Wenn partielle diffbarkeit gegeben ist, die Ableitungen
> aber nicht stetig sind, dann ist das doch der Grund, warum
> die nicht total diffbar ist, oder?
3. "nicht notwendigerweise", das lässt die Möglichkeit offen, dass sie dennoch total differenzierbar ist.
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Hiho,
machen wir es mal etwas abstrakter, aber kürzer und einfacher:
Du hast eine Aufgabe A und eine Aussage B, die über die Implikation zusammenhängen, d.h. es gelte:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$. Oder in Worten: Aus A folgt B.
Was du nun aber machst, ist aus obiger Aussage auch die Aussage
[mm] $\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B$ zu folgern.
D.h. du folgerst die Aussage "Aus Nicht-A folgt Nicht-B".
Das ist aber falsch!
Wenn du weißt, dass [mm] $\neg [/mm] A$ gilt, kannst du keinerlei Aussage über B treffen, d.h. es kann B gelten, oder auch [mm] $\neg [/mm] B$.
Das kann man nicht voraussagen.
Es ist sogar so, dass wenn sowohl $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ als auch [mm] $\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B$ gelten würde, so wäre [mm] $A\gdw [/mm] B$
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Do 04.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Es ist ja schon alles Wichtige gesagt worden. Dennoch möchte ich auch noch meinen Senf dazugeben, um zu zeigen, dass die Eigenschaft "partiell diffenenzierbar in [mm] x_0" [/mm] kümmerlich schwach ist.
Dazu nehmen wir der Einfachheit halber an, wir hätten eine Funktion $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] und es sei [mm] x_0=(0,0).
[/mm]
1. f ist partiell differnzierbar in [mm] x_0 [/mm] nach x
[mm] \gdw
[/mm]
(1) der Grenzwert [mm] $\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}$ [/mm] existiert in [mm] \IR.
[/mm]
2. f ist partiell differnzierbar in [mm] x_0 [/mm] nach y
[mm] \gdw
[/mm]
(2) der Grenzwert [mm] $\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}$ [/mm] existiert in [mm] \IR.
[/mm]
Dann heißt f in [mm] x_0=(0,0) [/mm] partiell differenzierbar, wenn die Eigenschaften (1) und (2) erfüllt sind.
Welche Eigenschaften von f gehen in (1) bzw. (2) ein ?
Antwort: Eigenschaften von f auf der x-Achse bzw. y-Achse ! Sonst nichts.
Sei etwa $M:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2: x \ne 0 \ne y\}$ [/mm] und $g: [mm] M\to \IR$ [/mm] irgendeine(!) Funktion.
Def. man dann $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ oder} y=0 \\ g(x,y), & \mbox{für } (x,y) \in M \end{cases},
[/mm]
so ist f in (0,0) partiell differenzierbar . Was g ist, ist völlig schnuppe !
Nun sollte es nicht mehr erstaunlich sein, dass partielle Differenzierbarkeit noch nicht einmal Stetigkeit nach sich zieht.
FRED
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