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ich habe diese frage in keinem weiteren forum gestellt!
hallo,
ich habe eine frage zum transformationssatz für mehrfache integrale.
in den vordiplomsprotokollen wird immer wieder die frage gestellt, warum die determinante ind der formel vorkommt. ich habe darauf keine antwort in meinen büchern geunden. also warum ist das so?
die betragsstriche sind doch da, weil keine orientierung für die integration angegeben wird, oder?!
danke leonie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Di 14.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Leonie!
Die Frage ist natürlich, was ein Professor in einer Vordiplomsprüfung bezwecken will. Will er, dass man den Beweis der Transformationformel runterbetet? Nein, ich denke, er will auf Verständnis prüfen. Die Frage ist: Wie stark geht man ins Detail?
Ich würde ungefähr wie folgt antworten, und dann auf Nachfragen des Profs warten:
Nun: In der Linearen Algebra wird für eine Matrix $A$ die Determinante [mm] $\det(A)$ [/mm] als Änderung des orientierten Volumens unter der Abbildung
[mm] $L_A [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^n & \to & \IR^n \\[5pt] x & \mapsto & Ax \end{array}$
[/mm]
interpretiert. Es ist also nicht verwunderlich , dass für invertierbare lineare Abbildungen $A: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] und integrierbare Funktionen $f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] die folgende Transformationsformel gilt:
[mm] $\int_{\IR^n} [/mm] f(Ax) [mm] \, \vert \det(A) \vert\, [/mm] dx= [mm] \int_{\IR^n} f(y)\, [/mm] dy$.
(Die Beträge kommen hinzu, da die sich eventuell ergebende Orientierungsänderung im Integrationsbereich nicht berücksichtigt wird.)
Ein formaler Beweis dieser linearen Transformationsregel nutzt aus
- dass sich die darstellende Matrix von $A$ als Produkt von Elementarmatrizen schreiben lässt,
- dass sich die Behauptung für die zu den Elementarmatrizen gehörigen linearen Abbildungen sehr einfach mit Standardargumenten (Satz von Fubini, Linearität des Integrals,...) zeigen lässt und
- dass man Folgendes leicht per Induktion zeigen kann: Gilt die Behauptung für $n$ lineare Abbildungen, so auch für deren Komposition.
Wir können aufgrund der Translationsinvarianz diesen Beweis für affin-lineare Funktionen erweitern.
Für allgemeine [mm] $C^1$-Diffeomorphismen $\varphi:U \to [/mm] V$, $U,V [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offen, approximieren wir [mm] $\varphi$ [/mm] wie folgt affin-linear im Punkt $x$:
$h [mm] \mapsto L_x(h) [/mm] = [mm] \varphi(x) +D_x\varphi(h)$.
[/mm]
Daraus will man nun unter Kenntnis des Transformationsverhaltens von [mm] $L_x$ [/mm] ein Transformationsverhalten für [mm] $\varphi$ [/mm] herleiten.
Dies macht man technisch wie folgt:
- Man bestimmt und kontrolliert den Approximationsfehler.
- Man leitet zunächst eine lokale Version der Transformationsformel her (um den Approximationsfehler klein zu halten).
- Man erhält eine globale Version mittels Partition der Eins.
Wenn man das alles sauber durchführt, erhält man die Transformationsformel für einen [mm] $C^1$-Diffeomorphismen $\varphi:U \to [/mm] V$, $U,V [mm] \subset \IR^n$, [/mm] offen, und eine reellwertige, integrierbare Funktion $f$ auf $V$:
[mm] $\int_U f(\varphi(x))\, \vert \det(D_x(\varphi)) \vert\, [/mm] dx = [mm] \int_V f(y)\, [/mm] dy$.
Dies sollte reichen, um bei der Frage durchzukommen. 
Liebe Grüße
Julius
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