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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 11.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Heute in der Klausur kam eine Aufgabe dran - ich hoffe, ich
> bekomme sie noch halbwegs zusammen. Kann es nämlich nicht
> abwarten bis Freitag - will schon jetzt wissen, ob ich's
> halbwegs richtig gemacht habe. 
>
> Also, es hieß ungefähr so:
>
> Eine endliche Gruppe [mm]G[/mm] operiere transitiv auf einer
> endlichen Menge [mm]M[/mm].
>
> a) Beschreiben Sie die Bahn für ein [mm]m\in M[/mm]. Wie viele
> Elemente hat die Bahn?
>
> Meines Wissens, bedeutet transitiv, dass es nur eine Bahn
> gibt.
Genau! Die genaue Definition ist: sind $m, m' [mm] \in [/mm] M$ beliebig, so gibt es (mindestens) ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit $g m = m'$.
> Demnach ist die Bahn für ein beliebiges [mm]m\in M[/mm] die
> ganze Menge M!? Und eine Bahn ist ja so definiert:
> [mm]Gm:=\{gm|g\in G\}[/mm]
Genau.
> - also müsste die Bahn für ein [mm]m\in M[/mm]
> doch |G| Elemente haben?
Nein, das nicht. Die Operation ist nicht treu (oder wie das heisst), d.h. es kann zwei $g, g' [mm] \in [/mm] G$ geben mit $g m = g' m$, aber $g [mm] \neq [/mm] g'$. (Sprich: [mm] $G_m$ [/mm] muss nicht nur aus dem neutralen Element bestehen.)
Nimm etwa $M$ eine einelementige Menge und $G$ eine beliebige Gruppe mit mehr als einem Element, und die triviale Operation (also $g m = m$ fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$, $m [mm] \in [/mm] M$ -- das ist eh die einzig moegliche Operation). Dann ist $|G| > |M|$, obwohl $G$ transitiv auf $M$ operiert.
> b) Geben Sie den Stabilisator an. Wie viele Elemente hat
> er?
>
> Bin mir nicht sicher, ob es nicht vielleicht hieß: Wie ist
> der Stabilisator definiert? Wüsste nämlich jetzt nicht, ob
> man so allgemein hierfür einen Stabilisator angeben
> könnte?
Also normalerweise haengt der Stabilisator vom Element $m [mm] \in [/mm] M$ ab; deswegen schreibt man ja auch [mm] $G_m$. [/mm] Operiert die Gruppe transitiv auf $M$, so sind je zwei Stabilisatoren konjugiert: ist $m' = [mm] \hat{g} [/mm] m$, so ist [mm] $G_{m'} [/mm] = [mm] \hat{g} G_m \hat{g}^{-1}$ [/mm] (wenn ich mich nicht verrechnet habe, ansonsten muss das Invers auf die andere Seite).
Wenn die Gruppe nun Abelsch waer, waeren die Stabilisatoren somit alle gleich, womit man von dem Stabilisator reden koennte. Aber das war hier nicht vorausgesetzt... Vielleicht war einfach [mm] $G_m$ [/mm] gemeint und du solltest die Definition davon angeben?
> Und wie viele Elemente er hat, da dachte ich an die
> Bahnenformel:
>
> [mm]|Gm|=|G|/|G_m|[/mm]
>
> Dann wäre doch [mm]|G_m|=|G|/|Gm|[/mm]
Genau, das ist hier die richtige Antwort.
> und nach a) - sofern das
> richtig ist - gilt doch [mm]|Gm|=|G|[/mm] und damit hätte der
> Stabilisator nur ein Element!?
Er hat genau dann nur ein Element, wenn die Operation treu ist  Aber das ist sie halt im Allgemeinen nicht, wenn die Operation nur transitiv sein soll (siehe Gegenbeispiel oben; dort ist uebrigens die ganze Gruppe der Stabilisator).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Felix!
Vielen Dank für die schnelle Antwort. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> > a) Beschreiben Sie die Bahn für ein [mm]m\in M[/mm]. Wie viele
> > Elemente hat die Bahn?
> >
> > Meines Wissens, bedeutet transitiv, dass es nur eine Bahn
> > gibt.
>
> Genau! Die genaue Definition ist: sind [mm]m, m' \in M[/mm]
> beliebig, so gibt es (mindestens) ein [mm]g \in G[/mm] mit [mm]g m = m'[/mm].
>
> > Demnach ist die Bahn für ein beliebiges [mm]m\in M[/mm] die
> > ganze Menge M!? Und eine Bahn ist ja so definiert:
> > [mm]Gm:=\{gm|g\in G\}[/mm]
>
> Genau.
>
> > - also müsste die Bahn für ein [mm]m\in M[/mm]
> > doch |G| Elemente haben?
>
> Nein, das nicht. Die Operation ist nicht treu (oder wie das
> heisst), d.h. es kann zwei [mm]g, g' \in G[/mm] geben mit [mm]g m = g' m[/mm],
> aber [mm]g \neq g'[/mm]. (Sprich: [mm]G_m[/mm] muss nicht nur aus dem
> neutralen Element bestehen.)
Das hatte ich fast befürchtet. Allerdings wüsste ich dann jetzt nicht, wie viele Elemente denn die Bahn jetzt hat!? Kann man das denn überhaupt sagen? Bin mir jedenfalls ziemlich sicher, dass die Frage so war.
> > b) Geben Sie den Stabilisator an. Wie viele Elemente hat
> > er?
> >
> > Bin mir nicht sicher, ob es nicht vielleicht hieß: Wie ist
> > der Stabilisator definiert? Wüsste nämlich jetzt nicht, ob
> > man so allgemein hierfür einen Stabilisator angeben
> > könnte?
>
> Also normalerweise haengt der Stabilisator vom Element [mm]m \in M[/mm]
> ab; deswegen schreibt man ja auch [mm]G_m[/mm]. Operiert die Gruppe
> transitiv auf [mm]M[/mm], so sind je zwei Stabilisatoren konjugiert:
> ist [mm]m' = \hat{g} m[/mm], so ist [mm]G_{m'} = \hat{g} G_m \hat{g}^{-1}[/mm]
> (wenn ich mich nicht verrechnet habe, ansonsten muss das
> Invers auf die andere Seite).
>
> Wenn die Gruppe nun Abelsch waer, waeren die Stabilisatoren
> somit alle gleich, womit man von dem Stabilisator reden
> koennte. Aber das war hier nicht vorausgesetzt...
> Vielleicht war einfach [mm]G_m[/mm] gemeint und du solltest die
> Definition davon angeben?
Ja, wahrscheinlich. Meine jedenfalls, etwas hingeschrieben zu haben, und das kann eigentlich nur die Definition gewesen sein.
> > Und wie viele Elemente er hat, da dachte ich an die
> > Bahnenformel:
> >
> > [mm]|Gm|=|G|/|G_m|[/mm]
> >
> > Dann wäre doch [mm]|G_m|=|G|/|Gm|[/mm]
>
> Genau, das ist hier die richtige Antwort.
>
> > und nach a) - sofern das
> > richtig ist - gilt doch [mm]|Gm|=|G|[/mm] und damit hätte der
> > Stabilisator nur ein Element!?
>
> Er hat genau dann nur ein Element, wenn die Operation treu
> ist Aber das ist sie halt im Allgemeinen nicht, wenn
> die Operation nur transitiv sein soll (siehe Gegenbeispiel
> oben; dort ist uebrigens die ganze Gruppe der
> Stabilisator).
Okay - damit dürfte ich aber immerhin ungefähr die Hälfte der Punkte bekommen. Und da das Ganze nur eine Zusatzaufgabe war und ich sie in den letzten 5 Minuten bearbeitet habe, ist das eigentlich schon ziemlich in Ordnung.
(War übrigens ne Informatik-Klausur - für ne Algebra-Klausur wären diese Aufgaben wahrscheinlich zu einfach gewesen, oder? )
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Do 12.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hoi Bastiane!
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Kein Problem :)
> > > - also müsste die Bahn für ein [mm]m\in M[/mm]
> > > doch |G| Elemente haben?
> >
> > Nein, das nicht. Die Operation ist nicht treu (oder wie das
> > heisst), d.h. es kann zwei [mm]g, g' \in G[/mm] geben mit [mm]g m = g' m[/mm],
> > aber [mm]g \neq g'[/mm]. (Sprich: [mm]G_m[/mm] muss nicht nur aus dem
> > neutralen Element bestehen.)
>
> Das hatte ich fast befürchtet. Allerdings wüsste ich dann
> jetzt nicht, wie viele Elemente denn die Bahn jetzt hat!?
> Kann man das denn überhaupt sagen? Bin mir jedenfalls
> ziemlich sicher, dass die Frage so war.
Doch, man kann es sagen, und zwar genau $|M|$ Elemente, da die Bahn gerade ganz $M$ ist
Und $|M|$ ist nach der unteren Diskussion ein Teiler von $|G|$.
> Okay - damit dürfte ich aber immerhin ungefähr die Hälfte
> der Punkte bekommen. Und da das Ganze nur eine
> Zusatzaufgabe war und ich sie in den letzten 5 Minuten
> bearbeitet habe, ist das eigentlich schon ziemlich in
> Ordnung.
Jep :)
> (War übrigens ne Informatik-Klausur - für ne
> Algebra-Klausur wären diese Aufgaben wahrscheinlich zu
> einfach gewesen, oder? )
Haengt vom Niveau der Vorlesung / der Klausur / der Studis ab
LG Felix
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