transitive/freie Operation < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X heiße frei, wenn für alle [mm]x \in X[/mm] der Stabilisator [mm]G_x[/mm] trivial ist, i.e. [mm]G_x = \{e \}[/mm].
Sei G eine endliche Gruppe und X eine endliche Menge [mm]( \not= \emptyset )[/mm], auf der G operiert. Betrachte die folgenden Aussagen:
(a) Die Operation ist transitiv.
(b) Die Operation ist frei.
(c) [mm]|X|=|G|[/mm].
(d) [mm]|X| \ge |G|[/mm].
Gelten die folgenden Implikationen?
(a) und (b) => (c)
(b) und (c) => (a)
(a) und (d) => (c) |
Ich kann mir leider unter den Begriffen "frei" und "transitiv" noch nicht richtig etwas vorstellen. Zuerst habe ich gedacht, dass transitiv so was ähnliches wie surjektiv ist, aber ich glaube, das triffts noch nicht ganz, oder?
In vielen Büchern habe ich gelesen, dass es bei einer transitiven Operation nur eine Bahn gibt, aber was sagt mir das? In der Übung haben wir gelernt, dass transitiv salopp gesagt bedeutet, dass "jedes Element auf jedes geschickt werden kann" wie z.b. bei der Drehgruppe des Tetraeders und der Menge der Seiten und Kanten.
Kann mir jemand helfen, das zu einem Gesamtbild zusammenzufügen?
Bedeutet "frei", dass nur die Identität ein Element aus der Menge X auf sich selbst abbildet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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