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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] B=\pmat{ 6 & -18 \\ 3 & -9 \\ -4 & 12}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Matrizen [mm] B^{T}B [/mm] und [mm] BB^{T}! [/mm] Welche Eigenschaften besitzen diese Matrizen?
b) Bestimmen Sie alle Vektoren x [mm] \in \IR^{2}, [/mm] für die Bx=0 gilt! |
Einen wunderschönen guten Tag,
a)
habe mir überlegt, [mm] B^{T} [/mm] bedeutet transponierte Matrix, aus 1. Zeile wird 1. Spalte u.s.w.
[mm] B^{T}=\pmat{ 6 & 3 & -4 \\ -18 & -9 & 12 }
[/mm]
[mm] B^{T}B=\pmat{ 6 & 3 & -4 \\ -18 & -9 & 12 }*\pmat{ 6 & -18 \\ 3 & -9 \\ -4 & 12}=\pmat{ 61 & -183 \\ -183 & 549 }
[/mm]
[mm] BB^{T}=\pmat{ 6 & -18 \\ 3 & -9 \\ -4 & 12}*\pmat{ 6 & 3 & -4 \\ -18 & -9 & 12 }=\pmat{ 360 & 180 & -240 \\ 180 & 90 & -120 \\ -240 & -120 & 160 }
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen hinsichtlich der Eigenschaften dieser beiden Matrizen?
b)
habe mir überlegt, Bx=0 bedeutet [mm] \pmat{ 6 & -18 \\ 3 & -9 \\ -4 & 12}*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \vektor{6x-18y \\ 3x-9y \\ -4x+12y }=0 [/mm] bedeutet das nun x=3y, z. B. x=15 und y=5, also gibt es unendlich viele Lösungen, wie kann ich es noch mathematisch schön aufschreiben?
Danke für Eure Hinweise, Zwinkerlippe
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Guten Tach.
Die Frage ist was sie hören Wollen. Zuerst einmal sind beide Matrizen quadratisch, wenn auch andere Formate, aber quadratisch. Zweitens habens beide Matrizen die selben Eigenwerte [mm] \not=0. [/mm] Das heißt die charakteristischen Polynome beider Matrizen unterscheiden sich nur um eine x Potenz. Die Minimalpolynome unterscheiden sich maximal nur um einen Grad voneinander(d.h. wenn das eine MinPolynom [mm] a_{0}x^{n}+............+a_{0}, [/mm] dann ist das andere Polynom maximal [mm] x*(a_{0}x^{n}+............+a_{0}). [/mm] Was anderes fällt mir im MOment an eigenschaften auch nicht ein. Falls ihr das nicht beweisen müsst sollte das aber reichen.
zur zweiten Aufgabe.
Wenn du dir die Matrix anschaust kannst du sehen das die drei zeilen linear Abhängig sind( die zweite ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *die erste, die dritte ist [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] * die erste. Also stehen dort dreimal die selben Gleichungen. Also nehme ich mal die erste. 6*x-18y=0. Dann teilen Wir das durch 6. Dann ist das x-3y=0. Dann kann ich mir eine Variable frei wählen. Ich nehme y=s. Dann ist x=3*s. Dass kann man jetzt auch als Vektor schreiben [mm] \vektor{x \\ y}= [/mm] s* [mm] \vektor{3 \\ 1}. [/mm] Wenn du das wieder ausschreibst kommt ja wieder x=3s und y=s raus. Die lösungsmenge sind also alle vielfachen von [mm] \vektor{3 \\ 1}. [/mm] So ist das mathematisch auch hübsch aufgeschrieben.
Ich hoffe das war verständlich.
Einen schönen Tach noch
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Hallo,
recht herzlichen Dank, Zwinkerlippe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Zwinkerlipe,
könnte mir vorstellen, dass eine weitere gemeinsame Eigenschaft beider Matrizen ist, dass sie symmetrisch sind.
Gruß,
Vreni
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