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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Di 02.12.2008 | | Autor: | tut-self |
| Aufgabe | Es seien x,y [mm] \in \IR^n. [/mm] Zeigen Sie, dass für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] (xy^T)^k=(y^Tx)^{k-1} xy^T [/mm] |
Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht.
Anfang für k=1 ist trivial.
Beim Schritt von k auf k+1 komm ich allerdings nicht durch:
[mm] (xy^T)^{k+1}=(xy^T)^k [/mm] * [mm] (xy^T) [/mm] =(y^Tx)^(k-1) [mm] xy^T xy^T
[/mm]
ich müsste also zeigen, dass
(y^Tx)^(k-1) [mm] xy^T [/mm] = [mm] (y^Tx)^k [/mm] gilt.
Wie geht man an so etwas am besten heran?
Oder geht es vielleicht sogar auf einem anderen Weg besser?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Es seien x,y [mm]\in \IR^n.[/mm] Zeigen Sie, dass für alle k [mm]\in \IN[/mm]
> gilt:
> [mm](xy^T)^k=(y^Tx)^{k-1} xy^T[/mm]
> Ich habe es mit vollständiger
> Induktion versucht.
> Anfang für k=1 ist trivial.
> Beim Schritt von k auf k+1 komm ich allerdings nicht
> durch:
> [mm](xy^T)^{k+1}=(xy^T)^k[/mm] * [mm](xy^T)[/mm] =(y^Tx)^(k-1) [mm]xy^T xy^T[/mm]
>
> ich müsste also zeigen, dass
> (y^Tx)^(k-1) [mm]xy^T[/mm] = [mm](y^Tx)^k[/mm] gilt.
Das wird aber wohl nicht gelingen, denn rechts steht eine reelle Zahl
([mm](y^Tx)[/mm] ist skalarprodukt, was reelle Zahl ist) und links eine Matrix [mm]xy^T[/mm] multipliziert von diesem skalarprodukt hoch k-1
> Wie geht man an so etwas am besten heran?
> Oder geht es vielleicht sogar auf einem anderen Weg
> besser?
Versuche zu zeigen, dass [mm]xy^T xy^T = y^Tx xy^T[/mm].
Dann kriegst du die gewünschte Gleichung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 03.12.2008 | | Autor: | tut-self |
thx für die Antwort
ich habs wie folgt versucht:
[mm] (xy^T)(xy^T) [/mm] = [mm] x(y^Tx)y^T [/mm] = [mm] x()y^T [/mm] = [mm] xy^T [/mm] = [mm] y^Txxy^T
[/mm]
(<y,x> ist das Skalarprodukt)
dann sieht der Induktionsschritt wie folgt aus:
[mm] (xy^T)^{k+1}=(xy^T)^k(xy^T)=(y^Tx)^{k-1}xy^Txy^T =(y^Tx)^{k-1}y^Txxy^T [/mm] = [mm] (y^Tx)^kxy^T
[/mm]
stimmt das soweit?
Was ist nicht ganz verstehe ist folgendes: ich starte mit Matrizen bzw. Vektormultiplikationen, die ja nur unter bestimmten Umständen erlaubt sind. Bei der Multiplikation von y^Tx kommt ja eine einzige Zahl heraus (ist ja quasi das Skalarprodukt), aber strenggenommen ist es doch eigentlich eine 1x1 Matrix, die ich dann nicht mit [mm] xy^T [/mm] multiplizieren dürfte. Warum darft ich an dieser Stelle dazu übergehen, die Multiplikation als Multiplikation von Skalar mit Matrix aufzufassen?
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> thx für die Antwort
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> ich habs wie folgt versucht:
> [mm](xy^T)(xy^T)[/mm] = [mm]x(y^Tx)y^T[/mm] = [mm]x()y^T[/mm] = [mm]xy^T[/mm] =
> [mm]y^Txxy^T[/mm]
> (<y,x> ist das Skalarprodukt)
> dann sieht der Induktionsschritt wie folgt aus:
> [mm](xy^T)^{k+1}=(xy^T)^k(xy^T)=(y^Tx)^{k-1}xy^Txy^T =(y^Tx)^{k-1}y^Txxy^T[/mm]
> = [mm](y^Tx)^kxy^T[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Super, damit ist es ja gezeigt.
> Was ist nicht ganz verstehe ist folgendes: ich starte mit
> Matrizen bzw. Vektormultiplikationen, die ja nur unter
> bestimmten Umständen erlaubt sind. Bei der Multiplikation
> von y^Tx kommt ja eine einzige Zahl heraus (ist ja quasi
> das Skalarprodukt), aber strenggenommen ist es doch
> eigentlich eine 1x1 Matrix, die ich dann nicht mit [mm]xy^T[/mm]
> multiplizieren dürfte. Warum darft ich an dieser Stelle
> dazu übergehen, die Multiplikation als Multiplikation von
> Skalar mit Matrix aufzufassen?
Multiplikation Matrix mit Skalar (Matrix 1x1) ist definiert [mm]c(a_{ij})=(ca_{ij})[/mm] also darfst du es machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 03.12.2008 | | Autor: | tut-self |
Ja, aber warum darf ich denn eine 1x1 Matrix einfach als Skalar auffassen? Die Multiplikation Skalar-Matrix ist doch komplett anders als die Multiplikation zwischen Matrizen, oder? Diesen Übergang versteh ich nicht ganz... Als Matrix aufgefasst wäre die Multiplikation nicht definiert, aber ich fass es einfach als Skalar auf und mache ne andere Art von Multiplikation?
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Das Skalarprodukt spuckt eigentlich keine 1x1 Matrix aus, sondern ein Skalar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:39 Do 04.12.2008 | | Autor: | tut-self |
ja, das Skalarprodukt nicht, aber die Multiplikation $y^Tx$ schon, oder hab ich da was falsch verstanden? Der transponierte Vektor ist doch eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten. In [mm] xy^T [/mm] muss man doch beide als Matrix auffassen und das Ergebnis ist auch ne Matrix.
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> ja, das Skalarprodukt nicht, aber die Multiplikation [mm]y^Tx[/mm]
> schon, oder hab ich da was falsch verstanden? Der
> transponierte Vektor ist doch eine Matrix mit einer Zeile
> und n Spalten. In [mm]xy^T[/mm] muss man doch beide als Matrix
> auffassen und das Ergebnis ist auch ne Matrix.
Hallo,
ich glaube, ich verstehe das Problem.
Das Skalarprodukt lassen wir mal außen vor. Warum sollen wir uns mit sowas belasten. Wir multiplizieren hier Matrizen, und das Ergebnis der Matrixmultiplikation ist wieder eine Matrix.
Im Falle von y^Tx ist es eine 1x1-Matrix mit dem Eintrag y^Tx, also einem Element aus [mm] \IR.
[/mm]
Sagen wir grad mal: y^Tx:= (r)
Damit haben wir
$ [mm] (xy^T)(xy^T) [/mm] $ = $ [mm] x(y^Tx)y^T [/mm] $
[mm] =x(r)y^T [/mm] = [mm] (x(r))y^T [/mm]
=( [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_n}(r))(y_1,...,y_n)
[/mm]
[mm] =\vektor{rx_1\\\vdots\\rx_n}(y_1,...,y_n)
[/mm]
[mm] =r*(xy^t) [/mm] =(y^Tx) * [mm] (xy^t)
[/mm]
Ist das so befriedigender?
Gruß v. Angela
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jein... Also diese Umformung meinte ich eigentlich gar nicht, da passen ja die Größen, egal wie man es klammert.
Der Problem ist die rechte Seite aus der Ausgangsgleichung:
[mm] (y^Tx)^{k-1}xy^T
[/mm]
$ [mm] (y^Tx)^{k-1} [/mm] $ gibt eine 1x1 Matrix, diese darf ich also weder mit $x$ (Spaltenvektor)noch mit [mm] (xy^T) [/mm] (Matrix mit mehr als einer Spalte/Zeile)multiplizieren, wenn ich die Matizenmultiplikation benutzen möchte. Ich müsste als $ [mm] (y^Tx)^{k-1} [/mm] $ als Skalar auffassen. Und diesen Übergang verstehe ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 08.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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