trennung der variabeln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 20.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | ich muss diese Gleichung durch Trennung der Variablen lösen:
[mm] y'=\bruch{y^3}{e^x} [/mm] gegeben ist : y(0)=2 |
ich hab folgendes gemacht:
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{y^3}{e^x}
[/mm]
Variablentrennung:
[mm] y^{3} [/mm] dy = [mm] e^x [/mm] dx
[mm] \integral {y^3 dy}=\integral e^x [/mm] dx
[mm] \bruch{1}{4}y^4=e^x [/mm] fehlt hier eine Konstante ?!!
Nach y auflösen:
y= [mm] \wurzel[4]{4e^x}
[/mm]
Einfangsbedingung y(0)=2 wenn ich 0 in x einsetze komme ich auf [mm] \wurzel[2]{2}
[/mm]
ist es so richtig?
danke
lg saf
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Hallo safsaf,
> ich muss diese Gleichung durch Trennung der Variablen
> lösen:
> [mm]y'=\bruch{y^3}{e^x}[/mm] gegeben ist : y(0)=2
> ich hab folgendes gemacht:
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{y^3}{e^x}[/mm]
> Variablentrennung:
> [mm]y^{3}[/mm] dy = [mm]e^x[/mm] dx
Hier muss doch stehen:
[mm]\red{\bruch{1}{y^{3}}} \ dy = e^{x} \ dx[/mm]
> [mm]\integral {y^3 dy}=\integral e^x[/mm] dx
> [mm]\bruch{1}{4}y^4=e^x[/mm] fehlt hier eine Konstante ?!!
> Nach y auflösen:
> y= [mm]\wurzel[4]{4e^x}[/mm]
> Einfangsbedingung y(0)=2 wenn ich 0 in x einsetze komme
> ich auf [mm]\wurzel[2]{2}[/mm]
> ist es so richtig?
Leider nein.
> danke
> lg saf
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 20.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | hallo nochmal. ich hab's nur am Anfang falsch aufgeschrieben , es ist [mm] y'=\bruch{e^x}{y^{3}} [/mm] |
sorry und danke nochmal
lg
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Hallo safsaf,
> hallo nochmal. ich hab's nur am Anfang falsch
> aufgeschrieben , es ist [mm]y'=\bruch{e^x}{y^{3}}[/mm]
Ok.
Dann löst [mm]y=\pm\wurzel[4]{4*e^{x}+C}[/mm] die DGL.
Jetzt noch die Anfangsbedingungen einsetzen.
> sorry und danke nochmal
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 20.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | ok danke ich hab hier ein senderfall mit cosinus ?!!
wenn ich nach y auflösen möchte komme ich auf :
ln(y)=-cosx+C
y=e^(-cosx).C
ist diese Schreibweise richtig?!
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sonst wie löse ich denn nach y auf?
vielen Dank
lg saf
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Hallo safsaf,
> ok danke ich hab hier ein senderfall mit cosinus ?!!
>
> wenn ich nach y auflösen möchte komme ich auf :
> ln(y)=-cosx+C
> y=e^(-cosx).C
Offenbar handelt e sich um die Lösung der DGL
[mm]y'+\sin\left(x\right)*y=0[/mm]
> ist diese Schreibweise richtig?!
Ja.
>
> sonst wie löse ich denn nach y auf?
>
> vielen Dank
> lg saf
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 20.07.2010 | | Autor: | safsaf |
ok vielen Dank. eigentlich handelt es sich um y' - y*sin(x)=0
lg Saf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> ich muss diese Gleichung durch Trennung der Variablen
> lösen:
> [mm]y'=\bruch{y^3}{e^x}[/mm] gegeben ist : y(0)=2
> ich hab folgendes gemacht:
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{y^3}{e^x}[/mm]
> Variablentrennung:
> [mm]y^{3}[/mm] dy = [mm]e^x[/mm] dx
> [mm]\integral {y^3 dy}=\integral e^x[/mm] dx
> [mm]\bruch{1}{4}y^4=e^x[/mm] fehlt hier eine Konstante ?!!
> Nach y auflösen:
> y= [mm]\wurzel[4]{4e^x}[/mm]
> Einfangsbedingung y(0)=2 wenn ich 0 in x einsetze komme
> ich auf [mm]\wurzel[2]{2}[/mm]
> ist es so richtig?
> danke
[mm] y'(x)=y^3(x)e^{-x} \wedge [/mm] y(0)=2
[mm] \Rightarrow y'(x)y^{-3}(x)=e^{-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -1/2*\left(y^{-2}(x)\right)'=-(e^{-x}+C)' [/mm] (Kettenregel rückwärts)
[mm] \Rightarrow y^{-2}(x)=2(e^{-x}+C)
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^{-2}(x)=2e^{-x}+2C\wedge 2^{-2}=2(1+C) [/mm] (wegen y(0)=2)
[mm] \Rightarrow y^{-2}(x)=2e^{-x}+1/4-2
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^{-2}(x)=2e^{-x}-7/4
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^{2}(x)=\frac{4}{8e^{-x}-7}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y(x)=\frac{2}{\wurzel{8e^{-x}-7}} [/mm] (wegen y(0)=2)
Wegen [mm] 8e^{-x}-7>0 [/mm] muss gelten, [mm] x<\ln(8/7)
[/mm]
LG
gfm
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