trigon. Rechenformeln Beweisen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mo 04.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende trigonometrische Rechenformeln:
[mm] arcsin(x)=\bruch{\pi}{2}-arccos(x)
[/mm]
[mm] tan(arccot(x))=\bruch{1}{x} [/mm] |
Es geht mir schon wieder um trigonometrische Rechenformeln...
und zwar zur ersten weis ich nicht ob das als Beweis reicht...
[mm] arcsin(x)=\bruch{\pi}{2}-arccos(x)
[/mm]
Da mache ich auf beiden Seiten sin(x):
[mm] x=sin\left(\bruch{\pi}{2}-arccos(x)\right)
[/mm]
[mm] x=\underbrace {sin(\bruch{\pi}{2})}_{1}*\underbrace {cos(arccos(x)}_{x}-sin(arccos(x)*\underbrace {cos(\bruch{\pi}{2})}_{0}
[/mm]
x=x
und dann weis ich, dass auf beiden Seiten das gleiche steht, aber gilt sowas als Beweis?
Zur zweiten Rechenformel
[mm] tan(arccot(x))=\bruch{1}{x}
[/mm]
Weis ich gar nicht weiter...
Ich habe zwar rausgefunden folgendes rausgefunden
[mm] cot(x)=\bruch{1}{tan(x)}
[/mm]
nur weis ich nicht ob mir das hilft.
Kann ich dann einfach den kehrwert bilden?
[mm] tan(arccot(x))=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{tan(arccot(x))}=x
[/mm]
cot(arccot(x))=x
x=x
?
Danke und besten Gruß,
tedd ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 04.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Sinnvollerweise führe bei solchen Aufgaben mal eine Zusatzvariable ein, hier y.
Aus [mm] \arcsin(x)=\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)
[/mm]
wird dann:
Und jetzt zeigst du mit deinen Umforumgen, dass y zwangsläufig [mm] \arcsin(x) [/mm] ergeben muss.
[mm] y=\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)
[/mm]
[mm] \gdw \sin(y)=\sin\left(\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)\right)
[/mm]
[mm] \gdw \sin(y)=\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)*\cos(\arccos(x))-\sin(\arccos(x))\cdot{}\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)
[/mm]
[mm] \gdw \sin(y)=x
[/mm]
Und jetzt bleibt ja für y nur noch die Lösung [mm] y=\arcsin(x)
[/mm]
(Wenn man den Wertebereich beachtet).
Für die zweite Anwendung ist es hier sinnvoller, eine Gleichungskette zu bilden.
[mm] \tan(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}=\bruch{1}{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}}=\bruch{1}{\cot(x)}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Mo 04.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für die zweite Anwendung ist es hier sinnvoller, eine
> Gleichungskette zu bilden.
>
> [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}=\bruch{1}{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}}=\bruch{1}{\cot(x)}[/mm]
du meinst wohl [mm] $\tan(x)$ [/mm] da ganz links.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mo 04.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Für die zweite Anwendung ist es hier sinnvoller, eine
> > Gleichungskette zu bilden.
> >
> >
> [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}=\bruch{1}{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}}=\bruch{1}{\cot(x)}[/mm]
>
> du meinst wohl [mm]\tan(x)[/mm] da ganz links.
Yep ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Ich ändere es sofort
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mo 04.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hab mich schon gewundert :)
Danke für die Hilfe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Hallo.
>
> Sinnvollerweise führe bei solchen Aufgaben mal eine
> Zusatzvariable ein, hier y.
>
> Aus [mm]\arcsin(x)=\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)[/mm]
> wird dann:
>
> Und jetzt zeigst du mit deinen Umforumgen, dass y
> zwangsläufig [mm]\arcsin(x)[/mm] ergeben muss.
>
> [mm]y=\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)[/mm]
> [mm]\gdw \sin(y)=\sin\left(\bruch{\pi}{2}-\arccos(x)\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw \sin(y)=\sin\left(\bruch{\pi}{2} \right)*\cos(arccos(x))-\sin(arccos(x))\cdot{}\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw \sin(y)=x[/mm]
>
> Und jetzt bleibt ja für y nur noch die Lösung [mm]y=\arcsin(x)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dies trifft nicht zu
die Gleichung [mm] \sin(y)=x[/mm] hat unendlich viele
Lösungen für y , falls [mm] -1\le x\le [/mm] 1 ist
>
> Für die zweite Anwendung ist es hier sinnvoller, eine
> Gleichungskette zu bilden.
>
> [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}=\bruch{1}{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}}=\bruch{1}{\cot(x)}[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
es ist [mm]\cot(x)=\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}[/mm], nicht [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
>
Es ist bei dieser Beweisaufgabe wichtig, die genauen Wertebereiche
von arcsin, arccos und arctan zu berücksichtigen !
LG al-Chw.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:05 Mo 04.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> dies trifft nicht zu
> die Gleichung [mm]\sin(y)=x[/mm] hat unendlich viele
> Lösungen für y , falls [mm]-1\le x\le[/mm] 1 ist
Das ist schon klar, aber man braucht die Umkehrfunktion, um das nach y auflösen zu können (Wenn der Def-Bereich es zulässt)
>
> >
> > Für die zweite Anwendung ist es hier sinnvoller, eine
> > Gleichungskette zu bilden.
> >
> >
> [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}=\bruch{1}{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}}=\bruch{1}{\cot(x)}[/mm]
>
>
> es ist [mm]\cot(x)=\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}[/mm], nicht
> [mm]\cot(x)=\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
> >
>
Sorry, ich habs verbessert.
Marius
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