trigonalisierbar, invarian. UR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 09.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, wobei n [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie: [mm] \phi [/mm] ist genau dann trigonalisierbar, wenn es eine eine Kette 0 = [mm] V_0 [/mm] [mm] \subset V_1 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] [mm] V_n [/mm] = V [mm] \phi [/mm] -invarianter Teilräume gibt mit [mm] dim(V_i) [/mm] = i. |
Hallo...
ich brüte jetzt schon zwei Tage über diese Aufgabe und ich habe noch keine gescheite Idee, wie ich das beweisen soll.
Meine bisherigen Überlegungen:
[mm] \phi [/mm] trigonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine eine Kette 0 = [mm] V_0 [/mm] [mm] \subset V_1 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] [mm] V_n [/mm] = V [mm] \phi [/mm] -invarianter Teilräume mit [mm] dim(V_i) [/mm]
lt. Definition ist [mm] \phi [/mm] trigonalisierbar [mm] \gdw h_A(X) [/mm] (char. Polynom) zerfällt in (nicht notwendig verschiedene) Linearfaktoren, d.h. [mm] h_A(X)=(X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n). [/mm] lt dem Hauptsatz der Algebra folgt daraus grad(A(X))=n. und daraus folgt dim(A(X))=n.....aber wie weiter?
es gibt eine eine Kette 0 = [mm] V_0 [/mm] [mm] \subset V_1 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] [mm] V_n [/mm] = V [mm] \phi [/mm] -invarianter Teilräume mit [mm] dim(V_i) [/mm] = [mm] \Rightarrow \phi [/mm] trigonalisierbar
Diese Kette eine [mm] \phi [/mm] -invariante Fahne. Es gibt eine [mm] \phi [/mm] -invariante Fahne von V ist äquivalent zu es gibt eine Basis S von V , so dass [mm] D_S(\phi) [/mm] obere Dreiecksmatrix ist.
Und eine MatrixA [mm] \in [/mm] K^(nxn) ist lt. Definition trigonalisierbar, wenn es ein C [mm] \in GL_n(K) [/mm] ex., so dass C^(-1)AC=B obere Dreiecksmatrix ist.
In diesem Fall bedeutet das doch, mein [mm] D_S(\phi) [/mm] die Matrix B, und C die Basiswechslmatrix bzgl. der Basis S.
Kann man das so schreiben? Oder beweise ich total falsche Sachen?
lg
kiwibox
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> Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum,
> wobei n [mm]\in[/mm] N. Zeigen Sie: [mm]\phi[/mm] ist genau dann
> trigonalisierbar, wenn es eine eine Kette 0 = [mm]V_0[/mm] [mm]\subset V_1 \subset [/mm]
> ... [mm]\subset[/mm] [mm]V_n[/mm] = V [mm]\phi[/mm] -invarianter Teilräume gibt mit
> [mm]dim(V_i)[/mm] = i.
> Hallo...
>
> ich brüte jetzt schon zwei Tage über diese Aufgabe und
> ich habe noch keine gescheite Idee, wie ich das beweisen
> soll.
>
> Meine bisherigen Überlegungen:
Hallo,
bei dem, was Du schreibst, ist mir nicht recht klar, wie bei Euch die Def. von "trigonalisierbar" war.
Ich kann ich mir vorstellen, daß sie so war:
> lt. Definition ist [mm]\phi[/mm] trigonalisierbar [mm]\gdw h_A(X)[/mm] (char.
> Polynom) zerfällt in (nicht notwendig verschiedene)
> Linearfaktoren,
>
> [mm]\phi[/mm] trigonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine eine Kette 0
> = [mm]V_0[/mm] [mm]\subset V_1 \subset [/mm] ... [mm]\subset[/mm] [mm]V_n[/mm] = V [mm]\phi[/mm]
> -invarianter Teilräume mit [mm]dim(V_i)[/mm]
>
> lt. Definition ist [mm]\phi[/mm] trigonalisierbar [mm]\gdw h_A(X)[/mm] (char.
> Polynom) zerfällt in (nicht notwendig verschiedene)
> Linearfaktoren, d.h. [mm]h_A(X)=(X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n).[/mm] lt
> dem Hauptsatz der Algebra folgt daraus grad(A(X))=n. und
> daraus folgt dim(A(X))=n.....aber wie weiter?
Tja...
Ich denke mal, daß Ihr definiert habt, daß eine Abbildung trigonalisierbar ist, wenn es eine Basis [mm] (b_1, b_2, ...,b_n) [/mm] gibt, bzgl. derer die Darstellungsmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist.
Nun def. [mm] V_i:= [/mm] und zeige, daß die [mm] V_i \phi-invariant [/mm] sind.
>
> es gibt eine eine Kette 0 = [mm]V_0[/mm] [mm]\subset V_1 \subset [/mm] ...
> [mm]\subset[/mm] [mm]V_n[/mm] = V [mm]\phi[/mm] -invarianter Teilräume mit [mm]dim(V_i)[/mm]
> = [mm]\Rightarrow \phi[/mm] trigonalisierbar
>
> Diese Kette ist eine [mm]\phi[/mm] -invariante Fahne. Es gibt eine [mm]\phi[/mm]
> -invariante Fahne von V ist äquivalent zu es gibt eine
> Basis S von V , so dass [mm]D_S(\phi)[/mm],
also die darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl der Basis S,
> obere Dreiecksmatrix
> ist.
Wenn das wirklich dran war, dann bist Du ja schon fertig.
Wenn es nicht dran war, dann mußt Du dies zeigen, indem Du sukzessive so eine Basis S konstruierst.
Gruß v. Angela
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